【信息与计算科学】【毕业论文】微积分理论中的重要思想及其应用

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1、（　2011　届）本科毕业论文（设计）微积分理论中的重要思想及其应用摘要：本文主要介绍了函数极限的概念，极限存在的条件以及它的一些基本性质。然后在极限的基础上阐述了微分和积分的概念。微分中值定理包括拉格朗日定理、罗尔定理、柯西中值定理，牛顿-莱布尼茨公式则是简便计算定积分的有力工具。最后文章介绍了极限所反映的哲学思想如量变与质变、过程和结果、有限与无限等对立统一关系以及微积分在实际生活中的应用。关键词：极限；微分；积分；哲学思想Theimportantthoughtofthetheoryofcalculusanditsapplica

2、tionsAbstract:Thispapermainlyintroducestheconceptoffunctionallimit,theconditionoftheexistenceoflimitanditsbasicproperties.Thenitintroducestheconceptsofdifferentialandintegration.Differentialmean-valuetheoremincludesLagrange’stheorem,Rolle’stheoremandCauchymean-valuethe

3、orem,Newton-leibnizformulaisthedefiniteintegralcalculatesthemostessentialmethod.Finallythispaperintroducesthatlimitcontainsthephilosophythoughtsuchasquantitativeandqualitativechange,processandresult,finiteandinfinite.Italsointroducestheapplicationofcalculusinreallife.K

4、eywords:limit;differential;integral;philosophy本科生毕业论文（设计）目录1绪论11.1问题的背景、意义11.1.1背景11.1.2意义12函数极限32.1函数极限的概念32.2函数极限的性质42.3函数极限存在的条件53导数和微分63.1导数的概念63.1.1导数的定义63.1.2导数的几何意义73.2微分73.2.1微分的概念73.2.2微分的运算法则83.2.3高阶微分83.3微分中值定理93.3.1拉格朗日定理和函数的单调性93.3.2柯西中值定理104定积分124.1定积分的概念

5、和莱布尼茨公式124.2可积条件134.3定积分的性质135微积分中的哲学思想及应用155.1极限思想所蕴含的哲学思想155.2微积分的实际应用166总结20致谢21参考文献22本科生毕业论文（设计）1绪论1.1问题的背景、意义1.1.1背景古典意义下的微积分是微分学和积分学的总称，是马克思主义经典著作中所说的“变量数学”或“高等数学”的主体部分。它作为一门学科，产生于17世纪后半期，以牛顿和莱布尼茨的工作为标志，经过18世纪的讨论、研究，于19世纪才用极限法改造、定型成今天的形式。但是微积分中某些重要概念却萌芽于两千多年以前。古希

6、腊芝诺的“二分法”、“阿基里斯追龟”和我国《庄子》中“一尺之锤”等都是早期的极限思想。我国古代用“割圆术”求圆的面积，以及希腊用“穷竭法”计算曲边图形的面积和体积，都是极限思想在数学中的应用。今天的微分和积分思想虽然可以追溯到古代原子论学说，但是要知道17世纪中期之前，二者却互不相干，各自独立而又平行地发展着。从16世纪后半期到17世纪前半期，积分思想是围绕“求积问题”发展的。它主要包括几何学和力学两个方面的问题。几何学方面是求平面曲线包围的面积、空间曲面包围的体积以及求曲线的弧长；力学方面是计算非匀速运动物体经过的路程、物体的中心

7、以及液体压力等。求积法从最初修改穷竭法开始，到同维无穷小法，卡瓦列利的不可分元法，再到不可分元的算术化，中间经过许多人的工作，积聚了极其丰富的材料，诞生了现代的积分学。在历史上，几何学中求曲线在其上一点之切线问题，力学中求质点运动的瞬时速度问题，以及求变量的极值问题，是产生微分学的基本问题。在牛顿以前，求切线问题对微积分的产生有直接的影响。马克思指出“全部微分学产生于求任意一条曲线上任何一点的切线的问题”，于是产生了笛卡尔用“重根法”作切线，费尔马借助微小增量作切线，罗伯尔瓦等借助合成运动速度作切线，巴罗等利用“特征三角形”作切线等

8、等。微积分经过大约一个半世纪的酝酿，以费尔马和巴罗的工作为结束[1]。1.1.2意义在实际应用上，利用变化率来描写的量是多不胜举。例如曲线的斜率、变速运动的速度、交流电的电流强度、空间温度场的梯度以及现代经济学上的边际劳动生产率、边际