微积分理论中的重要思想及其应用开题报告

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1、开题报告微积分理论中的重要思想及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　　一．选题的背景1．选题的背景西方分析权威R柯朗说“微积分是人类的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。”微积分是人类智力的伟大结晶，它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元。并因此加强和加深了数学的作用。有了微积分，人类才有能力把握运动和过程，有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船都是微积分的直接后果。从此，数学一下子就走到了前台，数学在人类社

2、会的第二次浪潮的作用比第一次浪潮要明显的多。微积分已成为人的基本要素之一，微积分教会我们在运动和变化中掌握世界，它具有将复杂问题化归为简单规律和算法能力。没有微积分很难理解现代社会发生的变化，很难跟上时代的脚步。2．选题的意义微积分在实际生活中起到了极大的作用，很多问题都是通过微积分来解决的。比如曲线的斜率，交流电的电流强度、空间温度场的梯度以及现代经济学上的边际劳动生产率、边际税率等等，反过来，已知斜率、速度等变量来寻求满足的方程或函数等。与此同时，微积分对其他学科以及人类物质文明也有着巨大的影响。有了微积分

3、就有了工业革命，就产生了现代化社会，同时现代的工程技术直接影响着人们的生产，而工程技术的基础就是微积分。由此可见，微积分的重要性微积分也蕴含着一些哲学思想，它体现了对立与统一的规律，渗透着辩证法的思想，为解决芝诺悖论提供了新思路，这个悖论事实上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的，我们运用微积分中的极限来解决，无限是有限的发展，把它定义为“部分和”的极限，只有借助极限才可以认识无限，于是就得到了整体与部分相互转化的关系，同时微积分也蕴含着物质是无限可分的，物质世界是不断变化等真理。二．研究的基本内容与拟

4、解决的主要问题2.1微积分的基本定理思想基本定理的思想，牛顿在1666年已有。他在1666年10月所写的《短论》一文中就讨论了如何借助反微分计算面积问题。他说，反微分“总能做出可以解决的一切问题”。如果设曲线同轴之间的面积为，牛顿断定就是。这是微积分的历史上第一次用比较明确的形式提出的微积分基本定理。牛顿意识到用反微分法代替求积法的重要性和普遍性，所以他强调了这个方法既可以“直接用”，也可以“反过来用”。所谓“直接用”，就是切线法，即今天的由求它的导数；所谓“反过来用”，就是积分法，即今天的由求，使得。牛顿这一

5、思想用今天的符号表示就是微积分基本定理：。莱布尼茨也是微积分的重要奠基人之一，他的积分完全继承了先驱们求微元和的思想。设给定的曲线是，为了求出该曲线在区间上面积，必须求出另一条纵坐标为的曲线，即他所谓的割圆曲线，使得，为常数。这时由于，于是就有，莱布尼茨通常假定曲线经过原点，于是在莱布尼茨的微积分中，求积问题就化归为反切线问题。也就是说，为了求得纵坐标为的曲线下的面积，只须求出一条纵坐标为的曲线，使得它的切线满足条件，设，再由曲线在区间上的面积减去在区间上的面积，就得出公式。在现在的微积分中，我们称这个式子为“

6、牛顿——莱布尼茨公式”。随后柯西又用极限理论定义了积分，设函数在区间上连续，并用分点对其分割，于是和式，表示以为高，以为底的个矩形面积之和，当很大，且很小时，和式就同该曲线在曲线上的面积近似，即，它最终到达某一个极限，这个极限仅仅依赖于函数的形式以及变量的两个端值和，我们把这个极限称为定积分，用符号表示就是，当柯西定义了闭区间上连续函数的定积分之后，又把这一定义应用到分段连续函数。即设在区间上有个有限间断点，则在该区间上的定积分定义为。2.2极限的基本概念和定理定义1：设函数在点的某一去新领域内有定义，如果存在

7、常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式。那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）我们指出，定义中表示，所以时有没有极限，与在点是否有定义并无关系。定义2：设函数当大于某一正数时有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当得极限，记作或者（）。之后黎曼和勒贝格等也为微积分定理做出了伟大的贡献。定理1：（函数极限得唯一性）如果存在，那么这极限唯一。定理2：（函数极

8、限得局部有界性）如果，那么存在常数和，使得当时，有定理3：（函数极限得局部保号性）如果，而且（或），那么存在常数，使得当时，有（或）定理3’：如果，那么就存在着的某一去心领域，当时，就有定理4：（函数极限与数列极限得关系）如果存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足：，那么相应的函数值数列必收敛，且。2.3微积分的应用微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分及微积分方程