（教育精品）1.2.1充要条件

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1、充分条件与必要条件的复习资料复习课一．命题“若p则q”为真，记作pq；“若p则q”为假，记作“pq”.二．充分与必要条件：①如果已知pq，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件.②如果既有pq，又有qq，即pq,则称p是q的充要条件.三．充分、必要条件与四种命题的关系：①如果p是q的充分条件，则原命题“若p则q”以及逆否命题“若p则q”都是真命题.②如果p是q的必要条件，则逆命题“若q则p”以及否命题“若p则q”为真命题.③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题。四.充要条件的判断方法：四种“条件”的情

2、况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；⑶确定条件是结论的什么条件.注意：充要条件是数学学习中十分重要的内容，应用很广泛，解决充要条件问题可以从下面两个方面入手。1．直接推埋：由条件p出发进行推理，然后由结论q出发进行推理.①若pq，而qp，则p是q的充分但不必要条件，而q是p的必要但不充分条件.②若pq，而qp，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若pq，而qp，则p是q的既不充分也不

3、必要条件.例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的条件；“x>0,y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的条件.2．从集合思想考虑：如果条件p与结论q很容易用集合来描述，则从集合思想考虑比较简单.设P={p},Q={q},≠①若Pq，则p是q的充分但不必要条件，而q是p的必要但不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若PQ且QP，则p是q的既不充分也不必要条件知识点一：判断p是q的什么条件例：判断下述p是q的什么条件：（1）p：x

4、>5q：x≥5；（2）p：（3）p：D2=4Fq：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切；（4）p：多面体是正四棱柱，q：多面体是长方体；（5）p：△ABC中，acosB=bcosA,q：△ABC为等腰三角形.例：判断p：或是q：的什么条件？启示：对于涉及充分必要条件判断时，必须准确地理解充分条件、必要条件的概念为基础，命题不易直接判断时可转化命题的形式，利用命题的等价性加以判断。小结：判断命题的充要条件有三种方法：（1）定义法。（2）等价法：即利用（3）利用集合间的包含关系判断，若知识点二：充分条件、必

5、要条件、充要条件之间的关系。充要条件具有传递性：若则，即A是D充分条件，利用这个结论可以研究多个命题之间的充要条件。例：设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，问D是A的什么条件？知识点三：充要条件的证明。例：设，求证：成立的充要条件是。例：求证：关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且

6、b

7、≤4.启示：充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题。知识点四：充要条件的求

8、解。例：函数是单调函数的充要条件是例：求关于x的方程至少有一个负的实根的充要条件。例：已知p：，q：，若非p是q的充分而不必要条件，求a的取值范围。例：已知：p：q：则p是q的什么条件？同步训练一、选择题1.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.已知集合A、B，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在中，条件甲：；条件乙：，则甲是乙的（）A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.

9、既非充分又非必要条件4.设m、n是两条直线，那么使m//n成立的一个必要不充分条件是（）A.m、n与同一个平面垂直B.m、n与同一直线垂直C.m、n与同一平面成等角D.m、n与同一直线平行5.已知、为任意非零向量，有下列命题：（1）；（2）；（3）其中可以作为的必要且非充分条件的是（）A.（1）B.(1)(2)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)6.在下列四个结论中，正确的有（）（1）的必要非充分条件；（2）中，A>B是sinA>sinB的充要条件；（3）的充分非必要条件；（4）的充要条件.A.(1)(2)

10、(4)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)7．设a∈R，则a>1是<1的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A．m>1,n<－1B．mn<0C．m>0,n<0D．m<0,n<0二、填空题9.条件;10.已知真命题“”和“”，则“”是“”的条件;11.已知函