1.2.1充要条件

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1、明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃf(x)dx＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃf(x)dx＝－S下．　　　(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃf(x)dx＝S上－S下，若

2、S上＝S下，则ʃf(x)dx＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃx3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一　微积分基本定理问题　你能用定义计算ʃdx吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1　如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)

3、．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答　由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃv(t)dt＝ʃy′(t)dt，所以ʃv(t)dt＝ʃy′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结　(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃf(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F′

4、(x)＝f(x)的F(x)．思考2　对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答　不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃf(x)dx＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)例1　计算下列定积分：(1)ʃdx；(2)ʃ(2x－)dx；(3)ʃ(cosx－ex)dx.解　(1)因为(lnx)′＝，所以ʃdx＝lnx

5、＝ln2－ln1＝ln2.(2)因为(x2)′＝2x，()′

6、＝－，所以ʃ(2x－)dx＝ʃ2xdx－ʃdx＝x2

7、＋

8、＝(9－1)＋(－1)＝.(3)ʃ(cosx－ex)dx＝ʃcosxdx－ʃexdx＝sinx

9、－ex

10、＝－1.反思与感悟　求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1　若S1＝ʃx2dx，S2＝ʃdx，S3＝ʃexdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)A．S1

11、S1答案　B解析　S1＝ʃx2dx＝x3

12、＝，S2＝ʃdx＝lnx

13、＝ln2<1，S3＝ʃexdx＝ex

14、＝e2－e＝e(e－1)>.所以S2

15、＋x

16、＋(x2－x)

17、＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－.反思与感悟　求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2　

18、设f(x)＝求ʃf(x)dx.解　ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(cosx－1)dx＝x3

19、＋(sinx－x)

20、＝sin1－.探究点三　定积分的应用例3　计算下列定积分：ʃsinxdx，ʃsinxdx，ʃsinxdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解　因为(－cosx)′＝sinx，所以ʃsinxdx＝(－cosx)

21、＝(－cosπ)－(－cos0)＝2；ʃsinxdx＝(－cosx)

22、＝(－cos2π)－(－cosπ)＝－2；ʃsinxdx＝(－cosx)

23、＝(－cos2π)－(－cos0)＝0.反思与感悟　可

24、以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面