1.2.1充要条件

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1、课时作业　充要条件一、选择题(每小题6分，共36分)1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.答案：A2．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵当α＝＋2kπ(k∈Z)时，cos2α＝cos＝，∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的充分条件．而当α＝－时，cos2α＝，但－≠＋2kπ(k∈Z)

2、，∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”不是“cos2α＝”的必要条件．答案：A3．下列p是q的充要条件的是(　　)A．p：a>b，q：ac>bcB．p：x＝1，q：x2－x＝0C．p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数D．p：x>0，y>0，q：xy>0解析：选项A中c可为0，不充要；选项B中x2－x＝0解得x＝0或x＝1，也不充要；选项D中，xy>0解得x>0，y>0或x<0，y<0，也不充要，只有C正确．答案：C4．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　　)①A∪B＝A　②∁UA∩B＝Ø③∁UA⊆∁UB④A∪∁UB＝U，A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由韦

3、恩图可知，①②③④都是充要条件．图1答案：D5．关于x的方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0的两根同号的充要条件是(　　)A．k<－1或k≥B．－2

4、f(x)

5、的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴

6、f(－x

7、)

8、＝

9、－f(x)

10、＝

11、f(x)

12、，∴y＝

13、f(x)

14、的图象关于y轴对称，但若y＝

15、f(x)

16、的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．m＝1是函数y＝xm2－4m＋5为二次函数的________条件．解析：m＝1时，函数y＝x2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m2－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1，所以m＝3也能保证函数为二次函数．答案：充分不必要8．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的________条件．解析：a＝2时，直线ax＋2y＝0即x＋y＝0与直线x＋y＝1平行．反之，若ax＋2

17、y＝0与x＋y＝1平行，得a＝2，故“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件．答案：充要9．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”成立的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)解析：a＝1且b＝2⇒a＋b＝3，所以a＋b≠3⇒a≠1或b≠2，而a＋b＝3a＝1且b＝2，所以a≠1或b≠2a＋b≠3.答案：必要不充分三、解答题(共40分)10．(10分)若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？解：命题的充分必要性具有传递性M⇒N⇔P⇒Q，但Q⇒/P，N⇔P，且NM，故M是Q的充分不必要条

18、件．11．(15分)设函数f(x)＝x

19、x－a

20、＋b.求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.证明：充分性：若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，所以f(x)＝x

21、x

22、.因为f(－x)＝－x

23、－x

24、＝－x

25、x

26、＝－f(x)对一切x∈R恒成立，所以f(x)是奇函数．必要性：若f(x)是奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x

27、－x－a

28、＋b＝－x

29、x－a

30、－b.令x＝0，得b＝－b，所以b＝0；令x＝a，得a

31、2a

32、＝0，所以a＝0，即a2＋b2＝0.12．(15分)求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．解：⇔⇔⇔所以两方程有一公共根的

33、充要条件为k＝－2.