（精品教育）1.2.1充要条件

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1、§1.2　充要条件学习目标　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一　充分条件与必要条件(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二　充要条件思考　在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”

2、是“B＝60°”的什么条件？答案　因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充要条件．梳理　(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A

3、B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件[来源:学科网ZXXK]若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x

4、p(x)成立}，q：B＝{x

5、q(x)成立}．(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(2)若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√)(3)q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)类型一　充分条件、必要条件、充要条件的判定例1　下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q

6、：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a＞b，q：ac＞bc.考点　充分条件、必要条件的判断题点　充分、必要条件的判断解　(1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．(4)∵p⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分也不必要条件．反思与感悟　充分条件

7、、必要条件的两种判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1　指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0

8、x－2

9、<3，q：<－1；(3)

10、p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；(4)p：q：考点　充分条件、必要条件的判断题点　充分、必要条件的判断解　(1)当a＝0时，1>0满足题意；当a≠0时，由可得0

11、根的充要条件是什么？考点　充要条件的概念及判断题点　寻求充要条件解　(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求．(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是即∴a<0.②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是即∴0

12、等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{