2019高考数学 考点突破——集合与常用逻辑用语：命题及其关系、充分条件与必要条件学案

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1、命题及其关系、充分条件与必要条件【考点梳理】1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．4．集合与充要条件设集合A＝{x

2、x满足条件p}，B＝{x

3、x

4、满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．【考点突破】考点一、四种命题的关系及其真假判断【例1】(1)命题“若，则”的逆否命题是(　　)A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则(2)给出下列命题：①“∃x0∈R，x－x0＋1≤0”的否定；②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题.其中真命题的个数是(　　)A.0B.1C.2D.3[答案](1)C　(2)C[解析](1

5、)命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：，p：，所以该命题的逆否命题是“若，则”.(2)①的否定是“∀x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，由x2＋x－6<0，得－3

6、断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．【对点训练】1.命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　)A.若a≤b，则a＋c≤b＋cB.若a＋c≤b＋c，则a≤bC.若a＋c>b＋c，则a>bD.若a>b，则a＋c≤b＋c[答案]A[解析]将条件、结论都否定.命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.2.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac

7、2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(　　)A.0个B.1个C.2个D.4个[答案]C[解析]原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.考点二、充分条件与必要条件的判断【例2】(1)已知函数f(x)＝则“x＝0”是“f(x)＝1”的(　　)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)设x∈R，则“2－x≥0

8、”是“

9、x－1

10、≤1”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案](1)B　(2)B[解析](1)若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件.(2)由2－x≥0，得x≤2，由

11、x－1

12、≤1，得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤20≤x≤2，故“2－x≥0”是“

13、x－1

14、≤1”的必要而不充分条件．【类题通法】充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集

15、合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．【对点训练】1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]　因为由“a＝3”可以推出“A⊆B”，反过来，由A⊆B可以得到“a＝3或a＝2”，不一定推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”