集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

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1、第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以___________的陈述句叫做命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系：判断真假(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性______________．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的_______条件，q是p的________条件；若p⇔q，则p是q的________条件．(2)若pD⇒/q，且qD⇒/p，则p是q的________

2、____________条件．相同充分必要充要既不充分又不必要没有关系有下列四个命题，其中真命题有()①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；A．①②B．②③C．①③D．③④四种命题及其关系C【尝试解答】①的逆命题“x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题．②的否命题“不全等的两个三角形的面积不相等”是假命题．③的逆命题“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题．④的原命题是假命题，知④的

3、逆否命题是假命题．因此正确的命题为①③，错误命题为②④.【答案】C1．(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．2．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．充分条件与必要条件的判定【思路点拨】(1)分清条件与结论，理清关系加以判定；(2)是新定义型问题，准确理解信息“a与b互补”的含义．【答案】(1)B(2)C1．(1)如果p⇒q，则p是q的充分

4、条件(或q是p的必要条件)；如果p⇔q，则p是q的充要条件．(2)判定充要条件应注意：弄清条件p和结论q分别是什么，判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．2．第(2)题是创新定义型试题，理解新概念、新运算的本质，转化为熟悉的问题，充分利用不等式的性质，进行代数恒等变形，是求解的关键．3．判定p⇔q常用的方法：(1)定义，(2)等价的逆否命题的判断，(3)运用集合的包含关系．充要条件的应用【思路点拨】先解不等式，把命题p，q具体化，第(1)问利用真值表求x；第(2)问由互为逆否命题等价确定p、q之间的关系，列出关于a的不等式，问题可解．(

5、2)由綈p是綈q的充分不必要条件，知q是p的充分不必要条件，由A＝{x

6、a＜x＜3a，a＞0}，B＝{x

7、2＜x≤3}，∴BA.因此a≤2且3＜3a.所以实数a的取值范围是1＜a≤2.1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．提醒：列关于参数的不等式时要考查端点值是否能取到，常用的方法是代入端点值验证是否符合题意．2．当题目中涉及到p，q，綈p，綈q的关系时，要注意充分利用等价转化的思想，即四种命题之间的等价转换.从近两年高考命题来看，本节多是对充要条

8、件的考查，少数涉及到四种命题及其真假判断，题型以客观题为主，分值5分，属中低档题．内容是以数学概念、几何定理、函数或不等式的性质为载体、考查四种命题的真假以及充要条件的判定．预计2013年仍会延续这一命题方向，解题中的常见错误是颠倒条件与结论．(2011·山东高考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝

9、f(x)

10、的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【错解】若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．此时

11、f(－x)

12、＝

13、－f(x)

14、

15、＝

16、f(x)

17、，因此y＝

18、f(x)

19、是偶函数，其图象关于y轴对称．但当y＝

20、f(x)

21、的图象关于y轴对称时，不一定有y＝f(x)为奇函数，例如y＝f(x)＝x2不是奇函数．易错辨析之一　充分必要条件颠倒致误故“y＝

22、f(x)

23、的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的充分而不必要条件，选A.【答案】A错因分析：(1)错选A，主要在于分不清谁是条件，谁是结论，颠倒充分性与必要性．(2)受思维定势影响，盲目认为y＝

24、f(x)

25、与函数f(x)的奇偶性无必然联系，错选D.防范措施：(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B

26、能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)准确理解函数的奇偶性，明确

27、f(x)

28、＝

29、f(－x)

30、与

31、f(－x)

32、＝

33、－f(x)

34、都能得到

35、f(－x)

36、＝

37、f(x)

38、.【正解】由y＝f