2019高考数学 考点突破——计数原理：排列与组合学案

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1、排列与组合【考点梳理】1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2．排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1性质(1)0！＝1；A＝n！.(2)C＝C；C

2、＝C＋C【考点突破】考点一、排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻.[解析](1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5040(种).(3)法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3

3、600(种).法二　(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3600(种).(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1440(种).【类题通法】1．对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多

4、的问题可以采用间接法.2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【对点训练】1．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)A．12B．24C．64D．81[答案]B[解析]4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A＝24.2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)A．24B．48C．60D．72[答案]D[解析]由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数

5、可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72.3．从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有(　　)A．180种B．220种C．240种D．260种[答案]C[解析]因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A·A＝240种.4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能

6、相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种(用数字作答).[答案]24[解析]将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有AAA＝24种不同的展出方案.考点二、组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货

7、在内，不同的取法有多少种？[解析](1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5984种.∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2100种.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2100＋455＝2555种.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式C

8、－C＝6545－455＝6090种.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.【类题通法】组合问题常有以下两类题型变化：1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题