2019高考数学 考点突破——计数原理：分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案

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1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理【考点梳理】1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.3．分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依

2、存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.【考点突破】考点一、分类加法计数原理【例1】(1)如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)A．14　　　　B．13C．12D．10[答案](1)5　(2)B[解析](1)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同

3、的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.(2)①当a＝0，有x＝－，b＝－1，0，1，2有4种可能；②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，(ⅰ)若a＝－1时，b＝－1，0，1，2有4种不同的选法；(ⅱ)若a＝1时，b＝－1，0，1有3种可能；(ⅲ)若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.∴有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个).【类题通法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.1．根据题目特点恰当选择一个分类标准.2．分类时应注意完

4、成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.3．分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a＝0这一类.【对点训练】1．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有(　　)A．8种B．9种C．10种D．11种[答案]B[解析]设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，

5、由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法.2．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)A．3B．4C．6D．8[答案]D[解析]以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个.考点二、分步乘法计数原理【例2】(1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　)A．1

6、0种　　　　B．25种C．52种D．24种(2)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)A．24B．18C．12D．9[答案](1)D　(2)B[解析](1)每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.(2)分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径.故选B.【类题通法】1

7、．在第(1)题中，易误认为分5步完成，错选B.2．利用分步乘法计数原理应注意：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.【对点训练】1．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种.[答案]4554[解析]五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争

8、夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.2．已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为________(用数字作答).[答案]20[解析]分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5×4＝20种走法.考点三、两个计数原理的综合应用【例3】(1)如果一条