数学高考总复习：计数原理(排列组合)

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1、数学高考总复习：计数原理知识网络目标认知考试大纲要求:1•理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.重占■两个基本计数原理、排列组合概念及基本方法的应用难点：两个基本计数原理及基本方法的应用知识要点梳理知识点一：加法原理和乘法原理1.加法原理，又叫分类计数原理：完成一件事，有n类方法：在第一类方法中有吟种不同的方法，在第二类方法中有曲，种不同的方法，……,在第n类方法中有曲■种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.

2、2.乘法原理，又叫分步计数原理：完成一件事需n个步骤，做第一步有6种不同方法,做第二步有曲‘种不同方法，……,做第n步有豪■种不同方法，则完成这件事共有：“二叫・f・・・•叫种不同的方法.1.加法原理与乘法原理区别与联系(1)加法原理中每一种方法就可以完成这件事.乘法原理中每一种方法无法完成这件事,只有当各个步骤中的每一步都完成，才能完成这件事；(2)加法原理屮类与类是独立的，乘法原理屮步与步是连续的。(3)两个原理是理解排列与组合的概念，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可

3、分儿类办法和需要分儿个步骤。2.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序应是：首先明确要完成的事件是什么;然后考虑如何完成，是分类，还是分步？还是先分类，在每一类里再分步？等等；最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？知识点二：排列1.定义：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.注意：(1)排列的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排成一列这里“一定顺序”指每次取出的元素与它所排“位置”有关.所以，収出的元素与“顺序”有无关系就成为我们判断问题是否是排列问题的标准.(2)只有当

4、元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.2.从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同排列的个数称为从n个不同元素中取岀m个元素的排列数，记为知识点三：组合1.定义：从n个不同元素中，任取m(m^n)个元素合成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合.2.从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同组合的个数称为从n个不同元素中取出nv个元素的组合数，记为肾。»(«-1)(»-2)3-2-11.从n个不同元素屮取岀m（mWn）个元素的排列数与从n个不同元素屮取岀m（mWn）个元素的组合数唯一差别就在于对“序”的考虑，由此也就得到从n个

5、不同元素中取出m（mWn）个元素的排列数与从n个不同元素中取出m（mWn）个元素的组合数的关系的两个基本解释：（1）由任何一个含m个元素的组合都可以进一步对m个元素做全排列农，得到劣个含m个元素的排列，即＜^X43=4TO（2）全体含m个元素的排列可以按元素异同分成若干类，每一类中恰有兀个元素,于是类数恰为2.组合数有两个重要关系：⑴Uk；（2）1规律方法指导1.加法原理分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）2.乘法原理合理分步的要求：任何一步的一种方法都不

6、能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立：只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同3.本部分内容、思考方法和解题都有特殊性，其概念性、抽象性、灵活性都比较强，思维方法新颖，解题过程极易出现重复或遗漏情况，计算结果较大，无法一一检验，因此给学生带来一定的困难，纵观近年高考，排列组合儿乎每年必考，考题多以选择题、填空题形式出现，今后的高考仍将考查基木概念、基本知识和基本运算，不断变换形式是发展的趋势。类型一：分类记数原理1.某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分別为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元

7、件至少买2个，则不同的选购方法有（）A.5B.6C.7D.8解析：买软件3个和元件买2个共需要320元，还剩180元可以自由支配。下面考虑这180元的使用：1类：只再买0个软件，剩下的180元可以不买元件或买1个元件或买2个元件,共3种方法；2类：只再买1个软件，剩下的120元可以不买元件或买1个元件，共2种方法;3类：只再买2个软件，剩下的60元不可以买元件，共1种方法；4类：只再买3个软件，剩下的0元不可以买元件，共1种方法；故不同的方法共有24-1+1+3=7种。总结升华：选择恰当的分类标准，作到