2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法习题 新人教A版选修2-2

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1、第一章　2.2　2.2.2反证法A级　基础巩固一、选择题1．设a、b、c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　C　)A．都不大于－2　　　　　B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2[解析]　假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋>－6，但(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．2．(2018·湖北期中)已知a，b，c∈(0，＋∞)，则下列三个数a＋，b＋，c＋(　D　)A．都大于6B．至少有一个不大于6C．都小于6D．至少有一个不

2、小于6[解析]　设a＋，b＋，c＋都小于6，则a＋＋b＋＋c＋＜18，利用基本不等式可得a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝8＋4＋6＝18，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，故下列三个数a＋，b＋，c＋至少有一个不小于6，故选D．3．(2017·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是(　C　)A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]　若甲获奖

3、，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．4．(2017·济南高二检测)设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于(　B　)A．0B．C．D．1[解析]　三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于．假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1，与已知矛盾．5．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的(　C　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．

4、充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]　若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0．因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b0，Q>0，R>0．6．若m、n∈N*，则“a>b”是“am＋n＋bm＋n>anbm＋ambn”的(　D　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[

5、解析]　am＋n＋bm＋n－anbm－ambn＝an(am－bm)＋bn(bm－am)＝(am－bm)(an－bn)>0⇔或，不难看出a>b⇒/am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm，am＋n＋bm＋n>ambn＋bman⇒/a>b．二、填空题7．(2018·思明区校级期中)用反证法证明某命题时，对于“已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25”．正确的反设为a1，a2，a3，a4都不大于25．[解析]　根据反证法的步骤，则应先假设a1，a2，a3，a4都不大于25

6、．故答案为a1，a2，a3，a4都不大于25．8．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0．但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．[解析]　假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，

7、故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0．但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．三、解答题9．(2016·吉林高二检测)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[解析]　假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一

8、个是负数．10．(2017·深圳高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[解析]　假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0，由f(0)为奇数，即c为奇数，f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，又an2＋bn＝－c为奇数，所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，所以an－a为奇数，