高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学业分层测评 新人教b版选修2-2

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1、2.2.2反证法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．实数a，b，c不全为0等价于(　　)A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】　“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．【答案】　D2．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b

2、＝0恰好有两个实根【解析】　依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.【答案】　A3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)A．一定是异面直线　　　B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.【答案】　C4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值(　　)【导学号：05410049】A．都大于2B．

3、至少有一个不大于2C．都小于2D．至少有一个不小于2【解析】　假设a＋，b＋，c＋三个数都小于2，则必有a＋＋b＋＋c＋<6，而＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立．【答案】　D5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【解析】　“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.【答案】　C二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_____________________________

4、_______________________________．【解析】　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．【答案】　没有一个面是三角形或四边形或五边形7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】　假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.【答案】　③8．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7

5、是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则__________均为奇数．①因7个奇数之和为奇数，故有(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为__________．②而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③②与③矛盾，故p为偶数．【解析】　由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为

6、奇数，这与0为偶数矛盾．【答案】　①a1－1，a2－2，…，a7－7　②奇数　③0三、解答题9．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．【证明】　假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，由0

7、能是一正两负，不妨设a＞0，b＜0，c＜0.则b＋c＝－a，bc＝，∴b，c为方程x2＋ax＋＝0的两根，∴Δ＝a2－≥0，即a3≥4.∴a≥＞＝，这与a≤矛盾，∴a，b，c中至少有一个大于.[能力提升]1．下列命题运用“反证法”证明正确的是(　　)A．命题：若a>b>0，则>.用反证法证明：假设>不成立，则<.若<，则ab矛盾．故假设不成立，结论>成立B．命题：已知二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有实根，求证：Δ＝b2－4ac≥0.用反证法证明：假设Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c＝0无实根，与已知方