2019-2020年高中数学 3.2.3空间向量与空间角练习 新人教A版选修2-1

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1、2019-2020年高中数学3.2.3空间向量与空间角练习新人教A版选修2-1角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝

2、cos〈a，b〉

3、＝________直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝

4、cos〈a，n〉

5、＝________角的分类向量求法范围二面角设二面角αlβ的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则

6、cosθ

7、＝

8、cos〈n1，n2〉

9、＝________　想一想：二面角

10、alβ的平面角为θ，平面α、β的法向量分别为n1，n2，如何去掉

11、cosθ

12、中的绝对值号？基础梳理　　　[0，π]想一想：当n1，n2所在的角与θ相等时，cosθ＝cos〈n1，n2〉；当n1，n2所成角与θ互补时，cosθ＝－cos〈n1，n2〉．1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于　(　　)A．30°B．60°C．150°D．以上均错2．正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与AA1所成角的余弦为(　　)A.B.C.D．13．已知两平面的法向量分别为

13、m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　)A．30°B．45°C．135°D．45°或135°自测自评1．B　2.A3．解析：(1)cos〈m，n〉＝＝＝，所以〈m，n〉＝45°.所以二面角为45°或135°.答案：D1．已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9，－3，4)和，则线段AB(　　)A．与平面xOy平行B．与平面xOz平行C．与平面zOy平行D．与平面xOy或zOy平行1．C2．已知A∈α，P∉α，＝，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为(　　

14、)A．30°B．45°C．60°D．150°2．解析：设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

15、cos〈，n〉

16、＝＝.∴θ＝60°.答案：C3．(xx·重庆高二检测)设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于(　　)A．45°B．30°C．90°D．60°3．解析：以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，F(1，0，1)，所以＝(－1，1，0)，＝(1，0，1)．

17、所以cos<，>＝－.所以<，>＝120°.所以AC与BF所成的角为60°.答案：D4．已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，BC＝，则二面角PBDA的正切值为________．4.5．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°5．解析：如图所示建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．于是＝(0，1，0)

18、．取PD中点为E，则E，∴＝，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos〈，〉＝，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.答案：B6．(xx·新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为(　　)A.B.C.D.6．解析：以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴，则设CA＝CB＝1，则B(0，1，0)，M，A(1，0，0)，N，故＝，＝，所以cos〈，〉＝＝＝，故选C

19、.答案：C7．如图，在三棱锥OABC中，OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝90°，OC⊥平面AOB，D为AB的中点，则OD与平面OBC的夹角为________．7．解析：∵OA⊥平面OBC，∴是平面OBC的一个法向量．而D为AB的中点，OA＝OB，∴∠AOD＝〈，〉＝45°.∴OD与平面OBC所成的角θ＝90°－45°＝45°.答案：45°8．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．8．解析：取AC、A1C1

20、中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BO＝AB＝，所以A，B，D，所以＝，又平面AA1C1C的一个法向量为e＝(0，1，0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则sinθ＝

21、cos，e

22、＝＝.答案：9．正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．9．解析：建立如图所示的空间直角坐标