2019-2020年高中数学 3.2.3空间向量与空间角检测题 新人教版选修2-1

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1、2019-2020年高中数学3.2.3空间向量与空间角检测题新人教版选修2-1一、基础过关1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l与平面α所成的角等于(  )A.30°B.60°C.150°D.以上均错2.直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则(  )A.α=θB.α=π-θC.cosθ=

2、cosα

3、D.cosα=

4、cosθ

5、3.已知A∈α,P∉α,=,平面α的一个法向量n=,则直线PA与平面α所成的角为(  )A.30°B.45°C.60°D.150°4.在

6、正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为(  )A.60°B.90°C.105°D.75°5.在正四面体ABCD中,点E为BC中点,点F为AD中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为(  )A.B.C.D.6.若两个平面α,β的法向量分别是n=(1,0,1),ν=(-1,1,0).则这两个平面所成的锐二面角的度数是________.高中数学选修2-1:空间向量与立体几何(共2页)第1页7.二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=

7、8,CD=2,则该二面角的大小为________.8.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为________.二、能力提升9.如图,在三棱锥V—ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A、B、V分别在x、y、z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC=θ.当θ=时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值.10.如图,已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.11.如图,四棱锥F—

8、ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=.CF与平面ABCD垂直,CF=2.求二面角B—AF—D的大小.三、探究与拓展12.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC⊥平面EDB;(3)求二面角B-DE-C的大小.高中数学选修2-1:空间向量与立体几何(共2页)第2页答案1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.60° 7.60°8.09.解 由于AC=BC=2,D是AB的中点,所以C(0

9、,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(1,1,0).当θ=时,在Rt△VCD中,CD=,故V(0,0,).所以=(-2,0,0),=(1,1,-).所以cos〈,〉===-.所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.10.解 如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则=(1,0,0),=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设=(m,m,1)(m>0),由已知〈,〉=60°,由·=

10、

11、

12、

13、cos〈,〉,可得2m=.解得m=,所以=.(1)因为cos〈,〉==,所以〈,〉=

14、45°,即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).因为cos〈,〉==,所以〈,〉=60°.可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.11.解 过点A作AE⊥平面ABCD.以A为坐标原点,、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是B,D,F(0,2,2).设平面ABF的法向量n1=(x,y,z),则由得令z=1,得所以n1=(-,-1,1).同理,可求得平面ADF的法向量n2=(,-1,1).由n1·n2=0知,平面ABF与平面ADF垂直,所以二面角B—AF—D的大小等于

15、.12.(1)证明 ∵四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC.又EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.以H为坐标原点,为x轴正方向,为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).设AC与BD的交点为G,连接GE,GH,则G(0,-1,0),∴=(0,0,1).又=(0,0,1),∴∥.又GE⊂平面EDB,H

16、F⊄平面EDB,∴FH∥平面EBD.(2)证明 =(-2,2,0),=(0,0,1),·=0,∴AC⊥GE.又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面

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