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《高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性学习导航学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.3函数的单调性自主整理函数的单调性(1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA.如果取区间M内的任意两个值x1,x2,则当改变量Δx=x2-x1>0时,有Δy=f(x2)-f(x1)>0,那么就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图2-1-12.图2-1-12当改变量Δx=x2-x1>0时,有Δy=f(x2)-f(x1)<0,那么就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图2-1-13.图2-1-13如果函数y=f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数,就说函数y=f(x)在这一区间M上具有单调性(区间M叫做y=f(x)的单调区间).注意:①函数的单调性是在定义域内的某
2、个区间上的性质,是函数的局部性质;②在考虑函数单调区间时,若端点处有意义,包括不包括端点均可.(2)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x1>0;②作差Δy=f(x2)-f(x1);③变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分母有理化、通分等);④定号(即判断Δy的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).(3)在公共定义域内:增函数f(x)+增函数g(x)是增函数;减函数f(x)+减函数g(x)是减函数;增函数f(x)-减函数g(x)是增函数;减函数f(x)-增函数g(x)是减函数.高
3、手笔记1.有的函数在整个定义域内具有单调性:有的函数在定义域的某个子集上具有单调性;但也有的函数没有单调区间,或者它的定义域上根本没有单调区间.2.函数单调性定义中的x1、x2有三个特征:一是同属一个单调区间;二是任意性,即“任意”取x1、x28,“任意”二字决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;三是有大小,通常规定x1x2时,f(x1)>f(x2);另一方面是逆向应用,即若f(x)在给定的区间上是增函数,当f(x1)
4、f(x2)时x1>x2.当f(x)是减函数时类同.4.利用函数单调性判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).5.记忆口诀:增函数,减函数,函数作差要记住;正号增,负号减,增减函数很简单;往上增,往下减,增减趋势正相反.名师解惑1.对于函数单调性的理解应注意什么?剖析:对于函数单调性的理解,要注意以下几点:(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,可以是整个定义域,也可以是定义域的某个区间.(2)函数f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数f(x
5、)在这个区间上函数值的总体变化趋势,是函数在这个区间上的整体性质.(3)函数的单调性是对于某个区间而言的,所以要受到区间的限制.如果函数在某个区间上是单调的,那么在这个区间的子集上也是单调的;但是如果函数在某几个区间上具有相同的单调性,在这几个区间的并集上则不一定具有单调性.2.判断或证明函数在某区间上的单调性一定要用定义吗？函数单调性的判定方法主要有哪些呢?剖析:(1)一般来说,证明或判断函数的单调性,严格地说必须用增、减函数定义,其步骤是:设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判符号→定结论.但对于求解选择、填空之类的不要求解过程的问题,能结合图象快速指出单调区间,当然也是可行的.但根
6、据函数图象判断函数单调性,必须按照作函数图象的步骤准确画出函数图象,特别要弄清楚由上升到下降和由下降到上升的关键点的横坐标,才能写出其单调区间,如果一个函数有两个单调递增区间,应写成(-∞,-1),［1,+∞)或(-∞,-1)和［1,+∞)等形式,但不能写成(-∞,-1)∪［1,+∞)的形式.(2)判断函数单调性的方法是本节的重点,常用的方法有:①定义法:利用定义严格判断.②图象法:根据函数图象直观判断.③直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.多了解几点结论,对于直接判断函数的单调性更有好处,如:函数y=-f(x)与函数y=f(x
7、)的单调性相反;当y=f(x)恒为负时,函数y=与y=f(x)的单调性相反;在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等.y=f(x)与y=kf(x)(k≠0),当k>0时,增减性相同,当k<0时,增减性相反.3.如何求函数在某闭区间上的最值?剖析:如果函数y=f(x)在闭区间［a,b］上具有单调性,那么它在这个区间上必取得最大值和最小值.即当f(x)在［a,b］上递增时,ymax=f(b)
