高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性课堂导学案

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1、2.1.3函数的单调性课堂导学三点剖析一、单调性的判断与证明【例1】证明函数f(x)=x+1x在(0,1)上是减函数.思路分析：证明的关键是对Δy进行变形,尽量变形成几个简单因式积或几个平方和的形式.证明：设0＜x1＜x2＜1,则Δx=x2-x1＞0,∴Δy=f(x2)-f(x1)=(x2+)-(x1+)=(x2-x1)+=(x2-x1).∵0＜x1＜x2＜1,则x1·x2-1＜0,∴f(x2)＜f(x1).∴f(x)在(0,1)上是减函数.温馨提示(1)也可以证明f(x)=x+的单调增区间是（-∞,1］,［1,+∞）,单调减区间是

2、［-1,0）,（0,1］,最好记住.(2)可引申为f(x)=x+(a＞0)在区间（0,］上单调递减;在区间(,+∞)上单调递增.二、函数单调性的应用【例2】已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-23.(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；（2）求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.思路分析：对于f(x)+f(y)=f(x+y)的应用，若是求x为某一具体数值时f(x)的值，则采用赋值方法.解：(1)令x=y=0,得f(0)=0;令x=-y，得f(-x)=

3、-f(x).在R上任取x2>x1,则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).∵x2>x1,∴x2-x1>0.又∵x>0时，f(x)<0,∴f(x2-x1)<0，即f(x2)-f(x1)<0.∴Δy<0.由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.（2）∵f(x)在R上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数.∴f(-3)最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×()=-2.∴f(-3)=-f(3)=2，即f(x)在[-3,3]上的最大

4、值为2，最小值为-2.4温馨提示无论给出的函数式子多么复杂，只要是证明单调性，就必用“定义法”，只要是比较自变量的大小，就必用单调性定义的逆命题.这就是解题思路.在正确的思路指导下，必能攻无不克，战无不胜.三、带有参数的函数的单调性【例3】已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈［-5,5］,求实数a的范围,使y=f(x)在［-5,5］上是单调函数.思路分析：根据二次函数的对称轴的位置确定单调性.解：f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2,图象的对称轴为x=-a.∵f(x)在［-5,5］上是单调函数,∴-a≤-5或-a≥

5、5,即a≤-5或a≥5.温馨提示高考对单调函数的考查主要结合后面几节内容进行考查,主要考查单调函数的定义,题型以选择题和解答题为主.各个击破类题演练1证明函数f(x)=x3+x在R上是增函数.证明：任取x10,即Δx>0.Δy=f(x2)-f(x1)=(x23+x2)-(x13+x1)=(x23-x13)+(x2-x1)=(x2-x1)[(x2+)2++1],∵(x2+)2++1>0,∴f(x2)-f(x1)>0,即Δy>0.∴f(x)=x3+x在R上是增函数.变式提升2已知函数y=f(x)在(0,+∞)上为增

6、函数且f(x)<0(x>0),试判断函数F(x)=在(0,+∞)上的单调性并证明.解析：F(x)在(0,+∞)上为减函数.下面给出证明：任取x1、x2∈(0,+∞)且Δx=x2-x1>0,∵ΔY=F(x2)-F(x1)==,∵y=f(x)在(0,+∞)上为增函数且Δx=x2-x1>0,∴Δy=f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).∴f(x1)-f(x2)<0.而f(x1)<0,f(x2)<0,∴f(x1)f(x2)>0.4∴F(x2)-F(x1)<0,即ΔY<0.又Δx>0,∴F(x)在(0,+∞)上为减函数.类题演

7、练2设函数f(x)=(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取x10.Δy=f(x2)-f(x1)===.∵a>b>0,∴b-a<0且x1-x2<0.只有当x10.∴Δy=f(x2)-f(x1)<0.∴y=f(x)在(-∞,-b)上是单调减函数，在（-b,+∞）上也是单调减函数.变式提升2已知f(x)在(0,+∞)上是增函数，而且f(x)>0

8、,f(3)=1,判断函数g(x)=f(x)+在区间（0，3]上的单调性，并加以证明.解析：任取x1、x2∈(0,3],且x1