高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性同步测控

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1、2.1.3函数的单调性同步测控我夯基,我达标1.函数y=3x+2的单调增区间是()A.(-∞,］B.［,］C.［,+∞)D.(-∞,+∞)解析：对于a>0的一次函数,它在定义域范围内为增函数.答案：D2.关于函数y=x2-2x+10的单调性的表述正确的是()A.在(-∞,+∞)上递增B.在(-∞,1］上递增C.在(-∞,1)上递减D.在［1,+∞)上递减解析：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),对称轴为x=,当a>0时,在区间(-∞,］上是单调递减函数,在区间［,+∞)上是单调递增函数.简称为“a

2、>0,左减右增”;当a<0时,在区间(-∞,］上是单调递增函数,在区间［,+∞)上是单调递减函数.简称为“a<0,左增右减”.答案：C3.关于函数y=的单调性的表述正确的是…()A.在(-∞,0)上增加,在(0,+∞)上减少B.在(-∞,0)∪(0,+∞)上减少C.在［0,+∞)上减少D.在(-∞,0)和(0,+∞)上都减少解析：对于反比例函数y=(k≠0),当k>0时,在区间(-∞,0)上是单调递减函数,在区间(0,+∞)上也是单调递减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k<0时,在区间(-∞,0)上

3、是单调递增函数,在区间(0,+∞)上也是单调递增函数.答案：D4.关于函数y=kx+b,下列论述错误的是()A.单调性只与k有关B.不论k>0,还是k<0,函数的单调性不变C.在(-∞,0］上单调增加的前提是k>0D.当k>0时,函数在(-∞,+∞)上增加解析：根据一次函数的单调情况,它与x的系数k的符号有关,当k>0时,它在(-∞,+∞)上是单调递增函数;当k<0时,它在(-∞,+∞)上是单调递减函数.答案：B5.函数y=x2+ax+7在［1,+∞)上增加,则实数a的取值范围是___________.解

4、析：二次函数的单调区间取决于该函数的二次项系数a的符号以及它的对称轴.a>0,左减右增,所给区间为其单调增区间的一个子区间,即≤1.所以a≥-2.答案：a≥-26.已知函数y=在(0,+∞)上单调增加,则实数k的取值范围是___________.解析：反比例函数的单调区间取决于该函数的系数k的符号.当k<0时,在区间(-∞,0)上是单调递增函数,在区间(0,+∞)上也是单调递增函数.所以该函数的系数2k-1<0.5答案：k<7.求函数f(x)=x+的单调区间.分析：按照定义去判断单调性时,我们可以用口诀“

5、同向则增,异向则减”帮助理解.解：设x1、x2∈(0,1］,且x10.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,1］上是减函数,同理可证f(x)在［1,+∞)及(-∞,-1］上是增函数,f(x)在［-1,0)上是减函数.我综合,我发展8.函数f(x)是［0,+∞)上的单调递减函数,f(x)≠0且f(2)=1,求函数F(x)=f(x)+在［0,2］上的单调性.分析：函数f(x)没有给出

6、解析式,因此对F(x)的函数值作差后,需由f(x)的单调性,确定作差后的符号.解：任取0≤x1f(x2)≥f(2)=1.∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)·f(x2)>1,<1,1>0.∴F(x1)-F(x2)>0,F(x1)>F(x2).∴F(x)是［0,2］上的单调递减函数.9.已知f(x)是定义在

7、［-1,1］上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈［-1,1］,m+n≠0,>0.(1)用定义证明f(x)在［-1,1］上是增函数;(2)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈［-1,1］,a∈［-1,1］恒成立,求实数t的范围.分析：本题给出的是抽象函数,进行适当的转化是解题的关键.(1)证明:>0说明f(m)+f(n)与m+n同号,5①如果m+n>0,则f(m)+f(n)>0,也即m>-n时有f(m)>-f(n)=f(-n);②如果m+n<0,则f(m)+f(n)<0,也即m<-

8、n时有f(m)<-f(n)=f(-n);显然只要m>-n就有f(m)>f(-n),根据m、n的任意性知函数在[-1,1]上是增函数.(2)解：f(x)在[-1,1]上是增函数,所以f(x)≤f(1)=1,显然t=0时f(x)≤1成立;t≠0时,f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,即转化为1≤t2-2at+1对所有a∈[-1,1]恒成立,即转化为0≤t2-2at对所有a∈[-1,1]恒成立,