高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.3 函数的单调性学案 新人教B版必修.doc

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1、2.1.3函数的单调性预习导航课程目标学习脉络1.理解函数的单调性的概念．2．会用函数单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性．3．能从给定的函数图象上直观得出函数的单调性及单调区间．4．掌握函数单调性的一些简单应用.1．函数单调性的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图(1)所示．图(1)当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图(2)所示．

2、图(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．思考1若把增、减函数定义中的“任意x1，x2”改为“存在x1，x2”可以吗？提示：不可以，如图：虽然Δx＝2－(－1)＞0，Δy＝f(2)－f(－1)＞0，但f(x)在[－1,2]上并不是单调函数．因此“任意”两字不能忽视，更不能用“特殊”取代．为了方便也可将定义改为：如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1≠x2时，总有＞0(＜0)，那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数．思考2“函数y＝在区间(－

3、∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数”是否正确？提示：不正确，函数y＝的单调区间不能取并集，应写为(－∞，0)，(0，＋∞)或(－∞，0)和(0，＋∞)．思考3“函数f(x)的单调增(减)区间是D”与“函数f(x)在区间D上是增(减)函数”是否相同？提示：不相同．函数f(x)的单调增(减)区间是D，这一说法意味着除D之外，函数f(x)再无其他单调增(减)区间．函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则意味着区间D是函数f(x)的单调增(减)区间的子区间，即除区间D外，函数f(x)还可能有其他的单调增(减)区间．2．判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x

4、)在给定的区间M上的单调性的一般步骤：(1)任取x1，x2∈M，且Δx＝x2－x1＞0；(2)作差：Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)变形(通常所用的方法有：因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等)；(4)定号(即判断Δy的正负)；(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性)．