高中数学 2.1.3《函数的单调性》学案 新人教b版必修1

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1、§2.1.3函数的单调性学习目标1.结合一次函数、二次函数、反比例函数的图象,形象地理解函数的单调性;2.通过取值、描点,分析函数值的变化规律,体会函数值的变化趋势,并会作出判断;3.理解增函数、减函数的概念,掌握判断某些函数增减性的方法;4.培养利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合的思想,提高辩证思维的能力.学法指导考察函数的单调性,可以从函数的图像、函数值的变化情况,增(减)函数的定义等多方面进行,但函数单调性的证明必须根据增(减)函数的定义加以证明。【自学合作探究】1(画一画).画出函数的图象.2.(想一想)上面画出的图象从

2、左到右是上升的还是下降的?(1)函数的图象从左到右是________________;(2)函数的图象从左到右是________________;(3)函数的图象从左到右,在区间________是____________;在区间________是____________.3.(算一算)若函数,,请填写下表.030303并思考:当自变量从小变大时,函数值是怎样变化的?(1)当自变量在实数集从小变大时,函数的值________________;(2)当自变量实数集从小变大时,函数的值________________;(3)当自变量从小变大

3、时,函数的值,在区间________是__________;在区间________是____________.4.(议一议),结合函数,我们怎样用数学符号语言来刻画函数的增、减性质?在函数的图像上任取两个点,记:.(1)在区间,任意取两个值,当改变量,则________0(填“”或“”)(2)在区间,任意取两个值,当改变量,则________0(填“”或“”)5.(说一说)根据上面的分析,请同学们给出增函数和减函数的定义:一般地,设函数的定义域为A,区间如果取区间M中的_______两个值,改变量,则当时,就称函数在区间M上是增函数,

4、当时,就称函数在区间M上是减函数.(辨一辨)判断下列结论是否正确.(1)函数在实数集上是减函数.()注:函数的单调性是在研究函数在定义域的子集(注意包括定义域本身)上的性质.(2)若函数的定义域为,满足,则函数在区间上是增函数.()注:取区间M中的任意两个值中的“任意”两个字绝不能去掉.更不能用两个特殊值代替.6.单调性和单调区间的定义:如果一个函数在某个区间M上是增函数或减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性,其中区间M称为函数的单调区间.思考:函数在上具有单调性吗?【展示点拨】例1、下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f

5、(x),请根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数.※变式练习:(1)已知函数y=f(x),的图象,(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数.例2、证明函数在上是增函数.小结:证明函数单调性的步骤:练习:判断函数在区间和上的单调性,并证明你的结论.思考:能否说,在它的定义域上是减函数?为什么?例3、判断在的单调性,并证明。练习:判断函数在区间[0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.例4、画出下列函数的图象,并指出它们的单调区间.(1)(2)变式:研究下列函数的单

6、调区间并分别画出它们的图象:(1)(2)目标检测A级1、下列函数中:①;②;③;④.其中,在区间(0,2)上是递增函数的序号有.2、函数的递增区间是.3、函数的单调递增区间为.4、函数的递减区间是__________.5、函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k取值范围。6、已知函数在上是减函数,在上是增函数,则.7、若二次函数在区间上单调递增,则的取值范围。8、已知函数在定义域R上是单调减函数,且,则实数a的取值范围__________.9、已知下列命题:①定义在上的函数满足,则函数是上的增函数;②定义在上的函数满

7、足,则函数在上不是减函数;③定义在上的函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数,则函数在上是增函数;④定义在上的函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数,则函数在上是增函数.⑤如果函数是R上的增函数,则时,在R上也是增函数其中正确命题的序号有.B级1、求证:函数在区间和上都是单调递增函数.2、已知函数在区间上是增函数,求实数a的取值范围.增,求a的取值范围。C级1、函数对一切实数都有,且当时,试判断函数的单调性,并说明理由。变式:设函数的定义域为,对均有,且当时,判断的单调性并说明理由。2、讨论在上的单调性,并给出证明。

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