浙江高考数学总复习第七章数列推理与证明专题探究课三高考中数列不等式问题的热点题型学案

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1、专题探究课三高考中数列不等式问题的热点题型高考导航　考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题；三是结合函数、不等式(放缩法)等进行综合考查，难度较大，涉及内容较为全面，试题思维量较大.热点一　等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S

2、3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.解　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.故等比数列{an}的通项公式为an＝×＝(－1)n－1·.(2)由(1)得Sn＝1－＝当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1

3、时，Sn随n的增大而增大，-7-所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－.综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.探究提高　解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【训练1】(2017·乐清模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5－2a2＝25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设Tn是数列的前n项和

4、，是否存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，∴解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1.∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9，∴等比数列{bn}的公比q＝3，∴bn＝3n.(2)不存在.理由如下：∵＝＝，∴Tn＝＝，∴1－2Tk＝＋(k∈N*)，易知数列为单调递减数列，∴<1－2Tk≤，又＝∈，∴不存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立.-7-热点二　数列的通项与求和(规范解答)数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的

5、定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】(满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.满分解答　(1)解　由题意有即2分解得或4分故或6分(2)解　由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，7分于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，

6、①Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②8分①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－10分＝3－，11分故Tn＝6－.12分　❶由题意列出方程组得2分；❷解得a1与d得2分，漏解得1分；❸正确导出an，bn得2分，漏解得1分；-7-❹写出cn得1分；❺把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，就能正确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数.用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{an·bn}的前n项和为Tn，然后

7、两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出Tn.【训练2】已知数列{an}，an＝(－1)n－1，求数列{an}的前n项和Tn.解　an＝(－1)n－1，当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝1－＝.当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.所以Tn＝(或Tn＝).热点三　数列的综合应用热点3.1　数列的实际应用数列在实际问题中的应用，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n项和公式或递推关系式，建立数列模型.【例3－1】

8、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元.(1)求该企业2014年年