浙江高考数学总复习第七章数列推理与证明专题探究课三高考中数列不等式问题的热点题型课时作业

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1、专题探究课三高考中数列不等式问题的热点题型(建议用时：70分钟)1.(2015·重庆卷)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.解　(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得a1＋2d＝2，3a1＋d＝，化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，解得a1＝1，d＝，故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝.(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，故{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.2.(2017·东

2、北三省四校模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)依题意得解得∴an＝2n＋1.(2)∵＝3n－1，∴bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，∴Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1，3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1＋(2n＋1)×3n，-5-两式相减得，－2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n＝3＋2×－(2

3、n＋1)×3n＝－2n×3n，∴Tn＝n×3n.3.已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn＋1，0)(n∈N*)，其中x1为正实数.(1)用xn表示xn＋1；(2)求证：对一切正整数n，xn＋1≤xn的充要条件是x1≥2.(1)解　∵f′(x)＝2x，∴过点(xn，f(xn))的切线方程为y－(x－4)＝2xn(x－xn)，将(xn＋1，0)代入切线方程并整理，得x＋4＝2xnxn＋1，显然xn≠0，∴xn＋1＝＋.(2)证明　(必要性)若对一切正整数n，xn＋1≤xn，则x2≤x1，即＋≤x1，而x1>

4、0，∴x≥4，故x1≥2.(充分性)由x1≥2>0，xn＋1＝＋，易得数列{xn}为正项数列，从而xn＋1＝＋≥2＝2(n≥1)，即xn≥2(n≥2)，又x1≥2，∴xn≥2(n≥1).于是xn＋1－xn＝＋－xn＝＝≤0，即xn＋1≤xn对一切正整数n成立.4.(2015·浙江卷)已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*).(1)证明：1≤≤2(n∈N*)；(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：≤≤(n∈N*).(1)证明　由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.由an＝(1－an－1)an－1得an＝(1－an－1)(

5、1－an－2)…(1－a1)a1>0.由0

6、单调递增数列，求证：Sn<2.(1)解　当an＝2n－1时，bn＝·＝.所以Sn＝＝×＝－.(2)解　满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an＝1和an＝(－1)n－1.证明：在bn＋2＝Sn中，令n＝1，得b3＝b1.设an＝qn－1，则bn＝.由b3＝b1得＝.若q＝±1，则bn＝0，满足题设条件.此时an＝1和an＝(－1)n－1.若q≠±1，则＝，即q2＝1，矛盾.综上所述，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一个是an＝1，另一个是an＝(－1)n－1.-5-(3)证明　因为1＝a10，0<<1，于是0<<

7、1.bn＝·＝·＝·<2.故Sn＝b1＋b2＋…＋bn<2＋2＋…＋2＝2＝2<2.所以Sn<2.6.已知正项数列{an}满足S＝a＋a＋…＋a(n∈N*)，其中Sn为数列{an}的前n项的和.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：<＋＋＋…＋<3.(1)解　∵S＝a＋a＋…＋a(n∈N*)，∴S＝a＋a＋a，两式相减得S－S＝a⇒an(Sn＋Sn－1)＝a⇒Sn＋Sn－1＝a，则Sn－1＋Sn－2＝a，两式相减得an＋an－1＝a－a⇒an－an－1＝1，∴an＝n.(2)证明　根据(1)知＝.∵k(2n＋2－k)≤＝(n＋1)2，∴＋>≥，即＋>2，-5

8、-令k＝1