专题探究课三高考中数列问题的热点题型

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1、(建议用时：60分钟)1.(2016·山西质量监测)在数列{an}中，a1＝1，an＋1·an＝an－an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝lg，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)由题意得－＝1，又因为a1＝1，所以＝1.所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，即an＝.所以数列{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)得bn＝lgn－lg(n＋2)，所以Sn＝lg1－lg3＋lg2－lg4＋lg3－lg5＋…＋lg(n－2)－lgn＋lg(n－1)－lg(n＋1)＋lgn－lg(n＋2)＝lg1＋lg2－lg(n＋1)－lg(n＋2)＝lg.

2、2.(2015·安徽卷)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥.(1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.所以数列{xn}的通项公式为xn＝.(2)证明　由题设和(1)中的计算结果知Tn＝xx…x＝….当n＝1时，T1＝.当n≥2时，因为x＝＝>＝＝.所以Tn>×××…×＝.综上可得对任意的n∈

3、N*，均有Tn≥.3.(2016·石家庄一模)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，且λ≠－1)，且a1，2a2，a3＋3为等差数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和.解　(1)法一　∵an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，∴an＝λSn－1＋1(n≥2).∴an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an(n≥2)，λ＋1≠0，又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1，∴数列{an}为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ

4、2－2λ＋1＝0，得λ＝1.∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.法二　∵a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1.∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1.∴an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，∴an＝Sn－1＋1(n≥2)，∴an＋1－an＝an，即an＋1＝2an(n≥2)，又a1＝1，a2＝2，∴数列{an}为以1为首项，公比为2的等比数列，∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn，anbn

5、＝(3n－2)·2n－1，∴Tn＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n－2)·2n－1.①∴2Tn＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n－5)·2n－1＋(3n－2)·2n.②①－②得－Tn＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n－1－(3n－2)·2n＝1＋3·－(3n－2)·2n.整理得Tn＝(3n－5)·2n＋5.4.(2016·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6，正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若λbn＞an，对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围.解　(1)∵

6、等差数列{an}中，a1＝1，S3＝6，∴d＝1，故an＝n.由①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，b1＝2S1＝21＝2，满足通项公式，故bn＝2n.(2)λbn＞an恒成立，即λ＞恒成立，设cn＝，则＝，当n≥1时，cn＋1≤cn，{cn}单调递减，∴(cn)max＝c1＝，故λ＞，∴λ的取值范围是.5.(2016·广东六校联考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，数列{bn}满足bn＝(n∈N*).(1)求数列{bn}的通项公式；(2)证明：＋＋…＋＜7.(1)解　由题意得an＋1＋1＝2－＝，bn＋1＝＝＝＝＋＝bn＋.又b1＝，∴数列{b

7、n}是首项为，公差为的等差数列，∴bn＝.(2)证明　当n＝1时，左边＝＝4＜7不等式成立；当n＝2时，左边＝＋＝4＋1＝5＜7不等式成立；当n≥3时，＝＜＝4，左边＝＋＋…＋＜4＋1＋4＝5＋4＝7－＜7.∴＋＋…＋＜7.6.(2015·湖北八校联考二)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)令cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.解　(1)设数列{an