高二数学寒假课程第4讲-不等式

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1、第四讲不等式【考点一：不等式的性质】1.不等式的性质(1)对称性:a>b0ba(2)传递性:a>b,b>co,a>c(3)可加性:d+c>b+c移项法贝i」：d+b>coa>c-b推论：同向不等式可加.a>b,c>da+c>b+d(4)可乘性:a>b,c>0nac>be,a>b,c<0=>acb>O,c>d>0=>ac>bd推论2：可乘方(正)：a>b>0=>an>hn'(neN^,n>2)(5)可开方(正)：a>/?>0=>^a>^b(neN>2)【例1】设a、方是不相等

2、的正数，A=H=+/<，试比较A、G、2+人V2H、Q的大小.【解析】Ta,b为不相等的正数,故Hab>b2；④若c>a>b>0,则一一>—一c-ac-b⑤若a>b,—>—,则a>0,b<0.ab其屮真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，特别注意条件与结论间的联系.【考点二：不等式的解法】1•解一元二次不等式的基本步骤：（1）整理系数，使最高

3、次项的系数为正数；（2）尝试用“十字相乘法”分解因式；（3）计算A=b2-4ac.9（4）结合二次函数的图彖特征写出解集.A>0△=0A<0二次函数y=cix2+bx+c(6/>0)的图象y=ax^+bx+cVy=ax^+bx+cIy=ax2+bx+cu一元二次方程ax2+bx+c=O{a>0喲根有两相异实根兀“2（西V兀2）冇两相等实根bX=x2=2a无实根ax+bx+c>0(a>0)的解集{xxx2}fbI2盯Rax1+/zr+c<0(a>0)的解集{xx}

4、x3&0；⑷(2£+^-：x+2)a<-3x-6【解析】(1)整理得2^+^-1<0,解集为(2)整理得4j^-4j+12i0,解集为R(3)整理得H-2^-330,解集为卜1,3](4)整理得/十圖十解集为0【课堂练习】1.不等式口<0的解集为兀+2(A)x

5、-2

6、x

7、x<-2](C)xx<一2或x>3}(D){兀兀>3}【答案】A【解析】・・・三<°,・・・一2<兀V3,故选A3•不等式A・-3冷B.C.]討U(l，3]D.U(l，3]【答案】D【解析】易知1排除B;由兀=0符合可排除C；由X=3排除4,故

8、选D.也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解.【例3】解不等式：(x2-1)(x2-6x+8)>0【析】原不等式o(兀一1)(兀+1)(兀一2)(x-4)>0,所以不等式的解集为(-oo,-l]U[1,2]U[4,+oo).【课堂练习】4.不等式x(jr・D<0的解集为【答案】A【解析】原不等式等价于(x-^Cx+lXx-l)^,解集为"(yo,-1]U©DU3ho).【例4】解不等式:lg(x-i)<0X【解析】原不等式等价于Ov疋二51,由疋二1<1得(兀_宁)(—宁)vo；XXX・・・x或0*由仝日>0得(兰+1)(

9、兀_1)>0_1*0或x>1XX・•・原不等式的解为：—1VXV号⑥或lovU詳【例5]解关于X的一元二次不等式〒_(3+a)x+3d>0【解析】T/—(3+q)x+3d>0,・：(兀―3)(x—a)>0(1)当a<3时，兀vq或x>3,不等式解集为｛兀卜―或¥>3｝；(2)当a=3时,不等式为(兀-3)2>0,解集为｛xxe(3)当°>3时,天<3或¥>°,不等式解集为｛兀卜<3或1〉0｝【课堂练习】5.关于x的不等式a?+加+cv0的解集为｛x

10、x<一2或x>-*｝,求关于x的不等式ax2一bx+c>0的解集.【解析】由题

11、设知QVO,且x=-2,x=丄是方程ax2+hx+c=()的两根，2・_2__丄£_1••——9丄alarabc从而—hx+c>0可以变形为x—xH—<0aa即：X2--x+l<0:.-2ab,a>0#>0,则a+b>2y[ab,当且仅当a=b时等号成立.(2)求最值:当”为定值时，a+b,&有最小值；当(减或/+/为定值时，"有最大值（a>Qb〉0）・（3）拓展：若。〉00〉0时,<-当且仅当a-b时哗号成b+2d<-【例6】求下列函数的

12、值域（1）y=3x2+^p；（2）j=x+-【解析】（1）（2）〉=3/+右=y[6・••值域为萌，+oo）；当兀>0时，y=x+—>2X当XV0时，y=x+-=X—（—X——）<—2Jx-—=—2兀兀•:值域为（一co,—2]U[2,+co）【课堂练习】求函数