高二数学寒假基础班第6讲

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1、函数的极值与导数【考纲要求】1了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，会川导数求函数的极大值、极小值。2：掌握利用导数求函数的极人值、极小值。【教学重难点】重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极俏的步骤.难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.【自主学习】复习1：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/>0,那么函数y=f(x)在这个区间内为函数；如果在这个区间内/<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的函数.复习2：川导数求函数单调区间的步骤：①求函数/W的导数广⑴.②令解不等式，得x的范围就是递增区间•③令解不等式，得x的范围，就

2、是递减区间•探究任务一：问题1：如下图，函数y=/(x)在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=fM的导数的符号有什么规律？看出，函数y=/(x)在点x=q的函数值f(a)比它在点2。附近其它点的函数值都—，广⑺)=_;且在点2Q附近的左侧广⑴_0，右侧广(x)—0.类似地，函数y=/(x)在点x=b的函数值/(b)比它在点兀"附近其它点的函数值都,广(")=_；而且在点x=b附近的左侧fx)0,右侧广(兀)0.新知：我们把点a叫做函数j=/(x)的极小值点,f(a)叫做函数_y=/(兀)的极小值

3、;点b叫做函数_y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f⑴的极大值.极人值点、极小值点统称为极值点，极人值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的,刻曲的是函数的•试试：(1)函数的极值(填是，不是)唯一的.(2)一个函数的极人值是否一•定大于极小值.(3)函数的极值点一•定出现在区间的—(内，外)部，区间的端点(能，不能)成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数f(x)=x3在x=0处的导数为,但它(是或不是)极值点.探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y=/U)在d、£、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近

4、的函数值有什么关系？y=fix)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，)=沧)的导数的符号有什么规律？问题2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极人值和极小值是唯一的吗？问题3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明.例1求函数/(x)=x3-3x2-9x+5的极值.3跟踪训练1求函数f(x)=-+3x的极值•小结：求可导函数/(X)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程f(x)=0的根.(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查厂⑴在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么/U)

5、在这个根处取得极人值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么/(%)在这个根处无极值.变式2：已知函数/(x)=x3-3x2-9x+11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值和极小值，如冇，试写出极值；(3)画出它的大致图彖.探动手试试练1.求下列函数的极值：(1)f(x)=6x2-x-2；(2)/(x)=x3-27x；(3)f(x)=6+2x-x3；(4)f(x)=3x-x3.(兀)的图象,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点，哪些探究点二利用函数极值确定参数的值问题已知函数的极值，如何确定隊I数解析式中的参数？例2已知/

6、(x)=x'+3ax2+bx+a2在兀=—1时有极值0,求常数a,b的值.跟踪训练2设x=l与x=2是函数f(x)=ainx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x=l,x=2是函数/U)的极大值点还是极小值点，并说明理由.探究点三函数极值的综合应用例3设函数J(x)=x3—6x+5fxeR.(1)求函数几丫)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)=a冇三个不同的实根，求实数d的取值范围.跟踪训练3若函数f(x)=2x3~6x+k在R上只有一个零点，求常数M勺収值范围.【当堂检测】1.“函数y=/(x)在一点的导数值为0”是“函数y=/(x)在这点取得极

7、值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.下列函数存在极值的是()A.y=~B.evC.y=x3+x2+2x~3D.y=F2.已知/U)=F+a,+(a+6)x+l有极人值和极小值，则a的取值范围为()A.—lvav2B・—3vav6C.av—1或a>2D・a<~3或a>63.设aWR,若函数尸『+祇，xWR有大于零的极值点，则a的収值范围为4.直线y=a与函数y=x3~3x的图象有三个相