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1、函数的最值与导数【考纲要求】1.借助函数图像,直观地理解函数的最大值和最小值概念。2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区別少联系,理解和熟悉函数/(兀)必有最大值和最小值的充分条件。3.掌握求在闭区间[Q,b]上连续的函数/(X)的最人值和最小值的思想方法和步骤。【教学重难点】重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法.难点:函数的最人值、最小值与函数的极人值和极小值的区别与联系.【自主学习】【复习回顾】1.极大值、极小值的概念:极大值:极小值;2.求函数极值的方法:(1);(2):(1)你能找出函数y=/⑴在区间[a,b]上的极大值和极小值么?(2)你
2、能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值么?结论:一般的,在闭区间[a,6]上连续的函扌代力在[a,b]上必有最大值与最小值.【重难点命题方向】1.例1.求函数f(x)=-x3-4x+l在[0,3]上的最大值与最小值。解:广(X)=.广(x)=0,则(x=-2舍去)有极小值/(2)=又由于/(0)=,/⑶=>所以,在[0,3]上的最大值为,最小值为o归纳:设函数心)在00]上连续,在(必)内可导,求/"(X)在00]上的最大值与最小值的步骤如下:(1);2•“最值”与“极值”的区别和联系⑴、最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有
3、绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具冇相对性.⑵、从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一;⑶、函数在英定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个.⑷、极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,冇极值的未必冇最值,冇最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.例2、求函数尹=*-2/+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.例3.已知函数/(x)=2x3-6x2在[一2,2]上有最小值一37,(1)求实数Q的值;(2)求/(兀)在[一2,2]
4、上的最大值。4x例4.函数f(x)=^^,xe[-2,2]的绘大值是,最小值是JC+1.函数y=x+—[2,+oo)的最小值为兀W51(•六安模拟)已知函数./U)=/+df+bx+c,曲线丿=.心)在点兀=1处的切线为/:3x~y+1?=0,若时,y=J(x)H极值.⑴求a,b,c的值;(2)求夕=心)在[—3,1]上的最人值和最小值.变式迁移3己知函数^x)=ax^+x2+bx(具中常数°,bWR),g(x)=Ax)+/(x)是奇函数.⑴求/(兀)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求炎)在区间[1,2]上的最大值和最小值.r"+ny-4-A例6.已知"
5、x)=log3——:—,xe(0,+-).是否存在实数a、A使几兀)同时满足下列两个条件:(1)/(X))在(0,1)上是减函数,在[1,+8)上是增函数;(2)/(x)的最小值是1,若存在,求出a、b,若不存在,说明理由.探究点一求含参数的函数的最值变式迁移1设。>0,函数沧)=呼.⑴讨论./W的单调性;(2)求yw在区间0,2°]上的最小值.探究点二用导数证明不等式U例21(2011•张家口模拟)已知./(x)=
6、?—alnxgR),(1)求函数7W的单调区间;I2(2)求证:当x>l时,^x2+lnx<^x3.变式迁移2(2010-安徽)设。为实数,函数心
7、)=『一2卄2d,xWR.⑴求./«的单调区间与极值;(2)求证:当t7>ln2—1JJ.x>0吋,ev>x2—2ar+1.探究点三实际生活中的优化问题U例31(2011-孝感月考)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3WdW5)的管理费,预计当每件产品的售价为X元(9WxWll)时,一年的销售量为(12—X),万件.(1)求分公司一年的利润厶(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润厶最大,并求出厶的最大值QS变式迁移3甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的
8、资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付卬方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量/(吨)满足函数关系x=2000".若乙方每住产一吨产品必须赔付甲方S元(以卜•称S为赔付价格).(1)将乙方的年利润e(元)表示为年产量/(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)甲方每年受乙方主产影响的经济损失金额尹=0.002几元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提卜,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是多少?【基础限时训练】变式:1求下列函数的最值:(1)已知/(x)=6-12x+j?,xw[-丄,1
9、],则函数的最大值为,最