高二数学寒假基础班第3讲

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1、第3讲导数【考纲要求】变化率与导数(1)、通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。(2)、通过函数图像直观地理解导数的几何意义。［教学重难点］重点：平均龙化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率：难点：平均变化率的概念【自主学习】探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随著气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越來越慢.从数学的角度如何描述这种现象？问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：心2)7

2、3)=塑试试：设y=f(x),西是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点吃，州与花的差记为心，即2=或者£二，心就表示从旺到*2的变化最或增量，相应地，函数的变化量或增量记为山，即△尸:如果它们的比值型，则上式就表示为Ax此比值就称为平均变化率.反思:所谓平均变化率也就是的增量与的增最的比值.探典型例题例1过Illi线y=f(x)=x3上两点P(l,l)和2(1+心,1+Ay)作曲线的割线，求出当Ax=0.1时割线的斜率.变式：已知函数/(x)=-x2+x的图象上一点(-1,-2)及邻近一点(-1+心,

3、-2+0)，则冬二例2已知函数/(x)=x2,分别计算/•(/)在下列区间上的平均变化率:(1)LI,3J；(2)(1,2]；(3)fl,1」]；(4)[1,1.001]练1.某婴儿从出牛到笫12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出牛到第3个月与笫6个月到第12个刀该婴儿体重的平均变化率.练2.已知函数/(x)=2x+l,g(x)=-2xf分别计算在区间[-3,-1],[0,5]±f(x)及g(x)的平均变化率.(发现：『=后+方在区间mm上的平均变化率有什么特点?当堂检测(时量：5分钟满分：10分

4、)计分：1.y=2x+在(1,2)内的平均变化率为()A.3B.2C.1D.02.设两数y=f(x),当H变量乳由兀。改变到x0+Ax时，函数的改变量为()A./(x0+Ax)B./(x0)+C./(x0)AvD./(x0+A.v)-/(x0)3.质点运动动规律$=尸+3,则在时间(3,3+&)中，相应的平均速度为()9A•6+AfB.6+AfA/C.3+ArD.9+At4•已知s=+护，从3s到3.1s的平均速度是5.y=x2-2x+3在x=2附近的平均变化率是§3.1.2导数的概念探究任务一：瞬

5、时速度问题1：在高台跳水运动屮，运动员有不同时刻的速度是新知：1.瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数Ac问题2：瞬时速度是平均速度一当&趋近于0时的Ar得导数的定义：函数y=fM在兀=心处的瞬时变化率是lim/(Xo+Ax)~/(Xo)=lim,我们称它°心->0心wZAr为函数y=f(x)在兀=勺处的导数，记作/r(x0)或VIf即/U)=Hm,f(X*心)一/(X(，)注意：(1)函数应在点兀)的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，山

6、趋近于()可正、町负、但不为()，而可以为0・⑶乞是函数y=/(x)对自变量兀在心范围内的平均变化率，它的儿何意义是过曲线Axy=/(x)±点(x0,/(x0))及点(xQ+Ar,/(x04-Ax))的割线斜率.(4)导数厂a。)=lim如上竺上上血是函数=/(x)在点兀的处瞬时变化率，它反映的山aAx函数y二/(X)在点兀()处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.探典型例题例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不

7、同产品，需要対原油进行冷却和加热.如果在第Xh时,原油的温度(单位:°C)为/(x)=x2-7x+15(O

8、求函数的增量Ay=/（x0+A.r）-/（x0）；第二步：求平均变化率笙=/（比+心）；AxAx第三步：取极限得导数广g）=lim0.&tO心探动手试试练1.在例1中，计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.练2.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是曲）"（位移单位：m,时间单位:s）,求小球在心5时的瞬时速度.当堂检测（时量：5分钊

9、满分：1（）分）计分：1.一直线运动的物体，从时间t^t+t时，物体的位移为△$,那么恤竺为（）s