2020年新高考数学一轮复习考点题型深度剖析专题25正弦定理和余弦定理的应用课后层级训练含解析

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1、课下层级训练(二十五)正弦定理和余弦定理的应用[A级基础强化训练]1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°【答案】D[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]2．(2019·湖北十堰调研)已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的

2、距离为()A．10kmB．103kmC．105kmD．107km【答案】D[如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝107.]3．(2019·河南郑州月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．56B．153C．52D．156BCCD【答案】D[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以sin30

3、°sin135°BC＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.]4．一艘海轮从A处出发，以每小时40nmile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102nmileB．103nmileC．203nmileD．202nmile【答案】A[画出示意图如图所示，BCAB易知，在△ABC中，AB＝20nmile，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，s

4、in30°sin45°解得BC＝102nmile.]5．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B[依题意可得AD＝2010，AC＝305，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得AC2＋AD2－CD23052＋20102－50260002cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠2AC·AD2×305×2010600022CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°

5、.]6．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.【答案】70[设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即两船相距70nmile.]7．一船以每小时15km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.【答案】302[如图所示，

6、60BM依题意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，sin45°sin30°解得BM＝302(km)．]8．(2018·福建福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.【答案】22.6[由题意可得AB＝200，AC＝1

7、002，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC25BC－2AB·AC·cos∠BAC＝10，则BC＝10010≈141.4×2.236，又历时14s，所以速度为≈22.6m/s.]149．(2019·山西监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)【答案】解(

8、1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB．又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，