高考数学一轮复习考点题型课下层级训练25正弦定理和余弦定理的应用（含解析）

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1、课下层级训练(二十五)　正弦定理和余弦定理的应用[A级　基础强化训练]1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°　　　　B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°【答案】D　[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]2．(2019·湖北十堰调研)已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两

2、地间的距离为(　　)A．10kmB．10kmC．10kmD．10km【答案】D　[如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10.]3．(2019·河南郑州月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)A．5B．15C．5D．15【答案】D　[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中

3、，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.]4．一艘海轮从A处出发，以每小时40nmile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10nmileB．10nmileC．20nmileD．20nmile【答案】A　[画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20nmile，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10nmile.]5．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度

4、分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．75°【答案】B　[依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]6．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.【答案】70　[设

5、两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即两船相距70nmile.]7．一船以每小时15km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.【答案】30　[如图所示，依题意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．]8．(2018·福建福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速

6、行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.【答案】22.6　[由题意可得AB＝200，AC＝100，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝105，则BC＝100≈141.4×2.236，又历时14s，所以速度为≈22.6m/s.]9．(2019·山西监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C

7、处搭建一个观测站CD，点D在顶端．(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)【答案】解　(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB．又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，∴由＝得AD＝＝＝≈5.在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcosα＝52

8、＋42－2×5×4×cos53°≈17.10．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔