[高考文科数学复习]方法31配方法（讲）

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1、一、配方法的定义：配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方。配方法是数学中化归思想应用的重要方法z—。二、配方法的基本步骤：配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(d+b)2=Q2+2db+b2,具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论

2、与求解等问题。如：沪宀戾+C"+2X令+($—($+*(’+$+4ac-b2~~499b°bb°b°b7y=cix^+bx+c=H—x)+c=ci[x^+2x—x+(—)~—(—)]+c=ci^xH)〜a2a2a2a2a三.常见的基本配方形式可得到各种基本配方形式，如：圧+皿曲-加珂61-贰+kb;cr+ab+b2=(ci+b)2-ab=(a-b)2+3ab=a1+b2+c2+ab+bc+ca=-[(a+b)2+(b+c『+(c+a『]；2a2+/?2+c2=(a+b+c)~一2(ab+be+cci)=(a+b-一2(ab-be-ca)=…结合其它数学知识和性质，相

3、应有另外的一些配方形式，如:1+sinl(x=+Isinacosa=(sina+cosa)2；1、?/Iy]x——+2=(Vx(兀丿％木文就髙屮阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1配方法与函数二次函数或通过换元能化为二次函数的函数均可用配方法求其最值•在换元的过程中要注意引入参数的取值范围。例1.【2016髙考浙江文数】已知函数/(%)"+滋，则“ZK0”是“f(f(力)的最小值与f(%)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意知/■(劝=云+心=仗+纟)2_{,最小值为—2

4、44令/=x2+fe,则/(/(X))=/(/)=?+ir=(/+-)2-—s/>-—,244当b<0时，/(/(x»的最小值为-匚,所以行<0氓推出“/(/(x»的最小值与/(X)的最小值相等二当5=0时〉/(/(x»=x4的最小值为0,f(x)的最小值也为0,所iyr/(/(x))的最小值与/(X)的最小值相等环能推出-b

5、log«(站)・1og,/r)Q〉0,且臼Hl)的最大值是1,最小值是—右则瘦的值是・【答案】丄2【解析】由题意知/*(%)=—(logaz+l)•(logax+2)=—(logtr+31ogax+

6、2)=221Z13、21—(log“x+—)■—2“2813当fd)取最小值一一时,log/=—一.又•・*,・・.g(0,1).82Vfx)是关于log/的二次函数，・・・函数fd)的最大值必在x=2或/=8时取得.1Q1---1-1若一(log“2+=)2——=l,则0=23,此时/V)取得最小值时，x=(23)2=边电舍228去.]3]11_2若一(log“8+—)2——=1,则a=—,此时fCO取得最小值时,x=(―)=2y[2e,/.a=22822丄■22配方法与三角函数在三角函数屮，同角三角函数基本关系式屮的平方关系sin2x+cos2x=l及其变形(

7、sinxicosx)2=l±2sinxcosx、二倍角公式及其变形cos2x=l-2sin2x=2cos2兀-1为考察配方法提供了平台，例3函数y=cos2x+2sinx的最大值为.3【答案】-【解析】1313=-2(sinx——)2+—,因为-lWsinxSl,所以当sinx=—时，y収最大值，最大时为二.22223配方法与解三角形在解三角形屮，余弦定理为考察配方法提供了平台，因为对于三角形的三边，如果能用一个变量给表示出来，就可以转化为二次函数问题，可以通过配方法来解。例4.【河北省武邑屮学2017届高三上学期笫三次调研】如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角

8、APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°,AB.AC的长度均大于200米,现在边界AP^AQ处建I韦I墙，在P0处围竹篱笆.(1)若围墙AP.AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)己知4P段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？【答案】(1)当AP=IO0米，人0=100米时，可使三角形地块AP0的面积最大；(2)当g学米W字米时’可使篱笆最省•【解析】设」LP=兀米＞米.ix=y当且仅当＜即*7=100时，取—即当心=100米，42=100米时，可使