[高考文科数学复习]方法32换元法（讲）

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1、换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起來，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.纵观近儿年高考对于转化与化归思想的的考查，换元法是转化与化归思想中考查的重点和热点之一.换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理•换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换,目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含

2、的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化•主要考查运用换元法处理以幣数、三角、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程.要用好换元法要求学生有较强转化与化归意识、严谨治学态度和准确的计算能力.从实际教学来看，换元法是学生掌握最为模糊，知道方法但不会灵活运用的方法.分析原因，除了换元法比较灵活外，主要是学生没有真正掌握换元法的类型和运用其解题的题型与解题规

3、律，以至于遇到需要换元的题目便产生畏惧心理.本文就高屮阶段出现换元法的类型与相关题型作以总结和方法的探讨.换元的常见方法有：局部换元、三角换元等，在高考中换元法常适用以下儿种类型：1、局部换元局部换元是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.1.1对于形如y=d[/d)]2+M(x)+c的值域(最值)问题，令/(%)=t,化为一元二次函数在某个区间上的值域(最值)问题处理.例1.【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测(二模)】对任意xgR不等式x2+2

4、x-«

5、>€/2恒

6、成立，则实数Q的取值范围是.【答案】[-1,1]【解析】设

7、x—d

8、二/，则x=a±ttX2二/±2加+凡故原不等式转化为r2+2r±2^>0(r>0),即t+2±2a>Q，所以2±2a>-t<0f即-1<«<1.故应填答案[一1,1].1.2.分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元);例2.【2016湖南六校联考】己知分别为椭圆C:二+匚=1幺>/?>0)的左、右顶点,alr不同两点巴0在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP.BQ的斜率分别为加"，则当2ba1—+—+ab+ln

9、m

10、+lnn取最小值时,2mn椭圆C的离心率为()【答

11、案】【解析】设点临如则务齐―(tab2zmab2ba设令f(^=^-+hx(o

12、s50°sinl00°cosl0°cosl0°Sin°cos60°cosl0°cosl0°cosl0°cosl0°'1.4.复合函数中的换元例4.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】己知函数/(x)=lognx,g(x)=21ogf/(2x+r-2),其中q>0且oHl,teR.(I)若/=4,且xgL—,2]时，F(x)=^(x)-f(x)的最小值是一2,求实数a的值;4(盯)若0VdVl,且xg[-,2]时，有/(x)>g(x)恒成立，求实数r的取值范围.4【答案】(I)-；(II)[2,4-00).【解析】(I)V/

13、=4,.F(x)=^(x>-/(x>=21og£1(2x-l-2)-log£Ix=log£1^ilLX=log^4M2),・••当时，巩力时=1。氐16,由k＞g」6=—2,解得a=(舍去)4分4当0＜。＜1时，F(xU=logd25,由1。民25=—2,解得5分综上知实数。的值是£・6分(II)V/(x)>^(x)恒成立，即]ogax>2]0ga(2x

14、+t-l)恒成立,・

15、logax>loga(2x+/-2)4了分y.'O<«-2x+^/x+2・■•恒成立〉■■-i(-2x+^/