《导数在研究函数中的应用》学案3（新人教A版选修1-1）

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1、3.3.1函数的单调性和导数学案学习目标1.理解函数单调性和导数的关系；2.会利用导数判断函数的单调性。学习重点和难点1.重点：函数单调性和导数的关系;2.难点：函数单调性和导数的关系。一、复习引入：1.常见函数的导数公式：2•法则1

2、w(x)±v(x)

3、=u(x)±v(x).法则2法则3二、讲授新课1・问题:图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度力随时间r变化的函数处)=—4.9八+6.5/+10的图像,3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度卩随吋间1变化的函数v(r)=h⑴=-9.8/+6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最髙点到入水这两段时间的运动状态有

4、什么区别？通过观察图像，我们可以发现：(1)(2)2.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与英导数正负的关系.如图3.3-3,导数/(x0)表示函数fx)在点(x0,y0)处的切线的斜率.在x=x0处，/(x0)>0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(Q在兀°附近单调递增；在%=处，/(x0)<0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/(x)在占附近单调递减.结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(a,b)内，如果/(x)>0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递增；如果f(无)<0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递减.说明：(1)

5、特别的，如果/(x)=0,那么函数y=/(x)在这个区间内是常函数.3.求解函数y=/(x)单调区间的步骤:(1)确定函数y=/(%)的定义域;(2)求导数y=f(x)；(3)解不等式/(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式f(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数f(x)的下列信息:当1vxv4时，/(x)>0；当x>4,或xv1时，/(%)<0；当x=4,或x=l时，/(x)=0试画出函数y=/(兀)图像的大致形状.解：例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区问.(1)/(x)=x3+3%；(2)/(x)=x2-2x-

6、3(3)/(x)=sinx-xxe(0,^)；(4)/(x)=2%3+3x2-24x+1例3・如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度力与时间(的函数关系图像.(1)(2)(O)分析:解：思考：一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡悄”；反之，函数的图像就“平缓”一些.如图3.3-7所示,函数y=/(兀)在(0,5)或(a,0)内的图像"陡悄”，在(b,+8)或(-^卫)内的图像“平缓”.例4・求证：函数y=2x3+3x2-12x+1

7、在区间(-2,1)内是减函数.证明：说明：证明可导函数/(x)在(d,b)内的单调性步骤:(1)；(1)；(2).2例5・已知函数/(x)=4x+ox2一一X3(XGR)在区间［一1,1］上是增函数，求实数Q的取值范围.解：说明:例6・已知函数)匸兀+―,试讨论出此函数的单调区间.X解：四、课堂练习：1.确定下列函数的单调区间(1)j=?一9x2+24x(2)y=3x-?⑴解：⑵解:2、设y=f'(x)是函数y=f(x)的导数，y=f'(x)的图象女口图所不，则y=f(x)的图象最有可能是()五、课堂小结:1.2.3..六、课后作业：课本习题3.3A组1,2【思考题】对

8、于函数fix)=2x3—6$+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、2丘+7=6兀在区间(0,2)内有儿个解?