2013新人教A版(选修1-1)3.3《导数在研究函数中的应用》.ppt

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1、3．3导数的应用3.3.1函数的单调性与导数1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系；2.能够利用导数研究函数的单调性；3.会求函数的单调区间.1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点)3.常与方程、不等式等结合命题.研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势(走高或走低)，以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．我们知道，可以用导数来研究股票走势曲线的变化趋势．那么，如何用导数来研究函数的单调性呢？用

2、函数的导数判断函数单调性的法则设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数；(2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数．上述结论可用图来直观理解．1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2.故选D.答案：D答案：C求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x－x3；(2

3、)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，x∈(0,2π)[策略点睛][题后感悟](1)如何利用导数判断或证明函数的单调性？利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．(2)注意事项：如果出现个别点使f′(x)＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性．2.已知a>0，且a≠1，证明函数f(x)＝ax－xlna在(－∞，0)内是减函数．证明：∵f′(x)＝axlna－l

4、na＝lna(ax－1)，x<0.∴当a>1时，∵lna>0，ax<1，∴f′(x)<0，即f(x)在(－∞，0)内是减函数；当01，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，0)内是减函数．综上，函数f(x)在(－∞，0)内是减函数．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的取值范围．(2)注意事项：一般地，最后要检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0.若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出

5、的参数取值范围为最后解．(3)三次函数与二次函数的关系是什么？在导数的应用中，三次函数是常见的一种函数，在二次函数的基础上，应了解三次函数的图象和一些性质．一般地，三次函数的图象是一个“双峰”的曲线，它的导函数是一个二次函数；三次函数的单调区间的端点就是它的导函数的零点，也就是相应方程的根．1．函数的单调性与导数(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．(3)如果一个函数具有相同单

6、调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．(4)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x3)．(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．(7)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有

7、f′(x)＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数．[特别提醒]若无穷多个点使f′(x)＝0，那么这些点必须是离散的，不能构成区间．2．求函数的单调区间的方法求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，这些不等式的解就是所求的单调区间．求函数单调区间的步骤如下：(1)求f(x)的定义域；(2)求出f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可得函数的增区间(或减区间)．3．判断函数的单调性的方法判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的方法：(1)求f(x)的定义域；(2)求出f′(x)在(a，b

8、)内的符号；(3)作出结论．4．利用函数单调性讨论有关参数求函数y＝f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0所得的x的取值集合．反过来，若已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中的参数值怎么办？这类问题往往转化为不等式的恒成立问题：即f′(x)≥0在D上