直线与圆的最值问题

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1、直线与圆相关的最值问题题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．例1：.圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n等于解析　圆的方程x2＋y2－4x＋6y－12＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1,0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m＝10.当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小.弦心距d＝＝3，所以最小弦长为2＝2＝2，所以m－n＝10－2.变式训练1：与圆相交于两点，则的最小值是多少？

2、解：直线过定点，当时，取最小值，由，可知，，，故变式训练2：已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.(1)证明　因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以解得即l恒过定点A(3,1).因为圆心为C(1,2)，

3、AC

4、＝<5(半径)，所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点.(2)解　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.3直线与圆相关的最值问题因为kAC＝－，所以l的斜率为2.又

5、l过点A(3,1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦.题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．例2：求点到圆的距离的最大值和最小值？解：2，故距离的最大值为，最小值为变式训练1：圆上的点到直线的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的最大值为则圆上的点到直线的最小值为方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为，最小值为直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为，最小值为题型三：切线问题例3　由直线y＝x＋2上的点P向

6、圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当PT最小的时候P的坐标？解析　根据切线段长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知PT＝，故PT最小时，即PC最小，此时PC垂直于直线y＝x＋2，则直线PC的方程为y＋2＝－(x－4)，即y＝－x＋2，联立方程解得点P的坐标为(0,2)．变式训练1：点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，3直线与圆相关的最值问题所以S四边形PAOB＝2×

7、O

8、A

9、·

10、PA

11、＝2＝2.为使四边形PAOB面积最小，当且仅当

12、OP

13、达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离：

14、OP

15、min＝＝2.故所求最小值为2＝8.题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值3