3直线和圆中的最值问题

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1、2011.11.6直线和圆中的最值问题方法总结：1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较，或者利用方程有解的问题；2、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离；3、有些最值问题要注意向函数问题转化；4、抓住式子的几何意义。一、到圆心距离的最值问题二、到圆上一点距离的最值问题三、与圆上一点的坐标有关的最值问题四、与圆半径有关的最值问题2011.11.6，，，，，，，2011.11.6，下同。高考中的直线和圆的最值问题1、已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切

2、点，那么的最小值为(A)(B)(C)(D)2、（湖南卷）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是()A.[]B.[]C.[D.解析：圆整理为，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，，∴，直线的倾斜角的取值范围是，选B.3、已知M={(x,y)

3、y=,a>0},N={(x,y)

4、(x-1)2+(y-)2=a2,a>0}.MN，a的最大值与最小值的和是__________.4、如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的

5、动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的最大值是．2011.11.65、设集合,,若则实数m的取值范围是____.答案：.解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，（2，0）在直线的上方，又因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有当时,只要,.当时,只要,当时,一定符合又因为,.本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关

6、系、含参分类讨论、解不等式，及其综合能力.6、已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程。直线是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。设Q（x0，4x0），M（m，0）∵Q，P，M共线∴kPQ=kPM∴解之得：∵x0>0，m>0∴x0-1>0∴令x0-1=t，则t>0≥40当且仅当t=1，x0=11时，等号成立此时Q

7、（11，44），直线l：x+y-10=02011.11.67、已知三条直线l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC，求m为何值时，ΔABC的面积有最大值、最小值。[解]记l1,l2,l3的方程分别为①，②，③。在①，③中取x=-1,y=0，知等式成立，所以A(-1,0)为l1与l3的交点；在②，③中取x=0,y=m+1，等式也成立，所以B(0,m+1)为l2与l3的交点。设l1,l2斜率分别为k1,k2,若m0，则k1•k2=,SΔABC=，由点到直线距

8、离公式

9、AC

10、=，

11、BC

12、=。所以SΔABC=。因为2m≤m2+1，所以SΔABC≤。又因为-m2-1≤2m，所以，所以SΔABC≥当m=1时，（SΔABC）max=；当m=-1时，（SΔABC）min=.8、已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定

13、OD

14、的最大值、最小值。[解]以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα)，由题设

15、AD

16、=

17、AB

18、=2sinα，这里不妨设A在x轴上方，则α∈(0,π).由对称性

19、可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为(cosα+2sinα,sinα)，所以

20、OD

21、==因为，所以当时，

22、OD

23、max=+1；当时，

24、OD

25、min=9、已知函数S=x+y，变量x,y满足条件y2-2x≤0和2x+y≤2，试求S的最大值和最小值。10、A，B是x轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(a