同角三角函数的基本关系式与诱导公式

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1、.第19讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试要求　1.同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα(B级要求)；2.±α，π±α，－α的正弦、余弦的诱导公式(B级要求).诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.(　　)(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　)(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(　　)(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin

2、α＝.(　　)解析　(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sinα都成立.(4)当k为奇数时，sinα＝，当k为偶数时，sinα＝－.答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2.(必修4P23习题11改编)已知tanα＝2，则的值为________.解析　原式＝＝＝3.答案　33.(2017·苏北四市摸底)已知sin＝，那么cosα＝________.解析　∵sin＝sin＝cosα，∴cosα＝.word教育资料.答案　4.(2018·南通调研)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ＝________

3、.解析　∵sinθ＋cosθ＝，∴sinθcosθ＝.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，∴sinθ－cosθ＝或－.又∵θ∈，∴sinθ－cosθ＝－.答案　－5.(2017·泰兴中学检测)已知3sinα＋4cosα＝5，则tanα＝________.解析　由3sinα＋4cosα＝5，两边平方得9sin2α＋24sinαcosα＋16cos2α＝25，即9sin2α＋24sinαcosα＋16cos2α＝25(sin2α＋cos2α)，从而16sin2α－24sinαcosα＋9cos2α＝0.故

4、(4sinα－3cosα)2＝0，所以4sinα＝3cosα，故tanα＝.答案　知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan__α.word教育资料.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限

5、函数名改变，符号看象限注：诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”.考点一　同角三角函数基本关系式及其应用【例1】(1)(教材改编)已知cosθ＝，且<θ<2π，那么tanθ的值为________.(2)(2017·盐城模拟)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为________.解析　(1)因为θ为第四象限角，所以tanθ<0，sinθ<0，sinθ＝－＝－，所以tanθ＝＝－.(2)∵<α<，∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2

6、＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.答案　(1)－　(2)word教育资料.规律方法　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【训练1】(1)(

7、2017·盐城调研)若3sinα＋cosα＝0，则＝________.(2)(2018·苏州模拟)已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝________.解析　(1)3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－，＝＝＝＝.(2)由sinθ－2cosθ＝－及sin2θ＋cos2θ＝1得：(2cosθ－)2＋cos2θ＝1⇒5cos2θ－cosθ－＝0⇒cosθ＝或cosθ＝－，因为θ是第三象限角，所以cosθ＝－，从而sinθ＝－，∴sinθ＋cosθ＝－.答案　(1)　(2)－考点

8、二　诱导公式的应用【例2】(1)(2018·连云港模拟)计算：sinπ＋cosπ＝________.word教育资料.(2)(2017·宿迁模拟)已知f(x)＝，则f(－)＝________.解析　(1)∵sinπ＝sin＝－sin＝－，cosπ＝cos＝cos＝－，∴sinπ＋cosπ＝－1.(2)f(x)＝＝－t