2015-2016高中数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教A版选修2-2

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1、【金版学案】2015-2016高中数学第二章推理与证明章末小结新人教A版选修2-2(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．　找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．(1)圆心与

2、弦(非直径)中点的连线垂直于弦．(2)与圆心距离相等的两弦相等．(3)圆的周长c＝πd(d为直径)．(4)圆的面积S＝d2.解析：圆与球具有下列相似性质．1．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．2．是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质：圆球(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(非轴截面)圆心的连线垂直于截面(2)与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面圆面积相等(3)圆的周长c＝πd球

3、的表面积S＝πd2(4)圆的面积S＝d2球的体积V＝d3　　　由实数构成的集合A满足条件：若a∈A，a≠1，则∈A，证明：(1)若2∈A，则集合A必有另外两个元素，并求出这两个元素；(2)非空集合A中至少有三个不同元素．分析：从集合中的元素满足的条件“若a∈A，则∈A(a≠1)”出发；当a＝2时，依次进行检验，即可得证．证明：(1)∵a∈A，a≠1，则∈A.∴2∈A时，有＝－1∈A.由于－1≠1，有＝∈A.由于≠1，有＝2∈A.如此循环可知集合A中的另外两个元素为，－1.(2)∵集合A非空，故存在a∈A，a≠1，有∈A，∴∈A且≠1，即a≠0时，有＝∈A，即如此

4、循环出现三个数a，，∈A.若a＝，则a2－a＋1＝0，方程无实根．若＝＝，则a2－a＋1＝0，方程无实根．若a＝，则a2－a＋1＝0，方程无实根．∴a，，互不相等，故集合A中至少有三个不同元素．分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：(1)分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．(2)确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．(3)解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，

5、确保解题的严谨性和完备性．　设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.证明：方法一　综合法因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2，≤，ab≤，所以≥4，又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，所以＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．方法二　分析法因为a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8.只要证＋≥8，只要证＋≥8，即证＋≥4.也就是证＋≥4.即证＋≥2，由基本不等式可知，当a>0，b>0时，＋≥2成立，所以原不等式成立．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么

6、就说明“若p，则¬q”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，从而达到证明的目的．反证法反映了“正难则反”的解题思想．一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，

7、但是推导出的矛盾必须是明显的．　已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，证明：不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.证明：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则·＝－1，所以(ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0.由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝.所以(1＋a2)·－a·＋1＝0，即a2＝－2，这是不可能的．所以假设不成立．故不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标

8、原点O.数学归纳法的两关