2015-2016高中数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教A版选修1-2

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1、【金版学案】2015-2016高中数学第二章推理与证明章末小结新人教A版选修1-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．　观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.，　，　，…n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；…，按此规律，推出Sn与n的关系式为________．解析：依图的构造规律可以看出：

2、S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)．答案：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)6　若数列{an}是等比数列，且an>0，则有数列bn＝(n∈N*)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{cn}是等差数列，则有dn＝________也是等差数列．解析：类比猜想可得dn＝也成等差数列，若设等差数列{cn}的公差为x，则dn＝＝＝c1＋(n－1)·.可见{dn}是一个以c1为首项，为公差的等差数列，故猜想是正确的．答案：　已知函数f(x)＝，g(x)＝.(1)证明f(x)是奇函数，并

3、求f(x)的单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)·g(2)和f(9)－5f(3)·g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．(1)证明：函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．任取x1，x2∈(0，＋∞)，设x10，∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得f(4)－

4、5f(2)·g(2)＝0，f(9)－5f(3)·g(3)＝0.由此概括出对所有不等于零的实数x有f(x2)－5f(x)·g(x)＝0.∵f(x2)－5f(x)·g(x)6＝－5··＝(x－x－)－(x－x－)＝0，∴该等式成立．问题(1)的大前提为函数奇偶性和单调性的定义．问题(2)实际上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性．►变式训练1．已知数列{an}的相邻两项a2k－1，a2k是关于x的方程x2－(3k＋2k)x＋3k·2k＝0的两个根且a2k－1≤a2k(k＝1，2，3，…)．(1)求a1，a3，a5，a7及a2n(n≥4)，不必证明；(2)求数列{an}的前2n

5、项和S2n.解析：(1)方程x2－(3k＋2k)x＋3k·2k＝0的两根为x1＝3k，x2＝2k.当k＝1时，x1＝3，x2＝2，∴a1＝2；当k＝2时，x1＝6，x2＝4，∴a3＝4；当k＝3时，x1＝9，x2＝8，∴a5＝8；当k＝4时，x1＝12，x2＝16，∴a7＝12.∵当n≥4时，2n＞3n，∴a2n＝2n(n≥4)．(2)S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(3＋6＋9＋…＋3n)＋(2＋22＋…＋2n)＝＋2n＋1－2.直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较

6、法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用．　设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.证明：证法一(综合法)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，∴＋＋≥8.证法二(分析法)∵a>0，b>0，a＋b＝1，6∴要证＋＋≥8，只需证＋≥8，即证＋≥8，即证＋≥4，即证＋≥4，即证＋≥2.由基本不等式可知，当a>0，b>0时，＋≥2成立，∴原不等式成立．　如图，正方形ABCD和四边形

7、ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．∴AF∥EG.∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FG，∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形，∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴