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1、第二章导数计算及应用第二章导数计算及应用本章主要知识点l导数定义l复合函数求导,高阶导数,微分l隐函数,参数方程求导l导数应用●历年真考题1、（2001）若，且在内：，则在内必有（B）A.B.C.D.解析:当时,,对两边求导,得再求一次导数,得2、（2001）设参数方程为；则2.解析:3、（2001）已知，求.解：-59-第二章导数计算及应用4、（2001）已知，求。解：原方程两边同对求导,得,5、（2001）已知曲线经过原点，并且在原点的切线平行于直线，若，且在处取得极值，试确定的值，并求出函数的表达式。解：（1）“过原点的切线平行于”（2）“在处取得极值”（连续、可导）所以由于
2、，得6、（2001）设函数，具有二阶连续导数，且，（1）求，使得在连续；（2）求。解：（1）（2）由于具有二阶连续导数，，及可知-59-第二章导数计算及应用7、（2002）已知是可导函数，则（C）A.B.C.D.解析：8、（2002）若，则（B）A.B.C.D.解析：,.9、（2002）已知在内是可导函数，则一定是（B）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定奇偶性的函数解析:令,可验证.10、（2002）设函数由方程确定，则1.解析：两边关于求导,得,.11、（2002）函数的单调增加区间为.解析:利用函数单调性的判定定理,-59-第二章导数计算及应用,当时所以单调增加区
3、间为.12、（2002）已知，求.解：13、（2002）设，且在点连续.求（1）的值；（2）.解：（1）（2）14、（2002）证明：当时，成立.证明：，因为，所以是偶函数，我们只需要考虑区间，考虑，，在时，，即表明在单调递增，所以函数在内严格单调递增；在时，，即表明在单调递减，又因为，说明在单调递增.-59-第二章导数计算及应用综上所述，的最小值是当时，因为，所以在内满足.15、（2002）已知某厂生产件产品的成本为（元），产品产量与价格之间的关系为：（元），求：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？（2）要企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润。解：（1）设生
4、产件产品时，平均成本最小，则平均成本，（件）（2）设生产件产品时，企业可获最大利润，则最大利润，，此时利润（元）。16、（2003）已知，则（B）A.2B.4C.0D.－2解析:类似于7题17、（2003），则下列说法正确的是（C）A.B.C.D.解析:主要是求导数,再由可得C.-59-第二章导数计算及应用18、（2003）已知函数为连续函数，则满足（C）A.为任意实数B.C.D.解析:由题意,只要满足在处连续即可即只要解出19、（2003）由确定，则.解析:利用隐函数求导,与4,10题类似.20、（2003）函数的凹区间为.解析:,当时,所以凹区间为21、（2003）已知，求.解
5、：22、（2003）证明：在内有且仅有一个实根。证明：令，，因为在内连续，故在内至少存在一个实数，使得.又因为在内大于零，所以在内单调递增，所以在内有且仅有一个实根.-59-第二章导数计算及应用23、（2003）设计一个容积为立方米的有盖圆柱形贮油桶。已知单位面积造价：侧面是底面一半，盖又是侧面的一半，问贮油桶的尺寸如何设计，造价最低？解：设圆柱形底面半径为，高为，侧面单位面积造价为，则有由得代入得：，令，得，此时圆柱高所以当圆柱底面半径，高时造价最低.24、（2004）直线L与x轴平行且与曲线相切，则切点的坐标是(C)A．（1，1）B、（－1，1）C、（0，－1）D、（0，1）解
6、析:由题意所以,代入解析式可求出.25、（2004）设，则解析:26、（2004）设函数y＝y(x)由方程所确定，求的值.解:代入原方程得y(0)=1，对原方程求导得对上式再求导得：将代入上二式，解得：.27、（2004）甲乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合资共建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管的费用分别为每公里500元和700元.问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管的费用最省？解:设污水厂建在河岸离甲城x公里处，则-59-第二章导数计算及应用，解得（公里），唯一驻点，即为所
7、求.28、（2005）设是函数的可导极值点，则a＝（C）A、－1B、C、D、1解析:由题意,解得.29、（2005）2解析:用洛必达法则.30、（2005）对函数在闭区间[1,e]上应用Lagrange中值定理，求得的＝解析:由即,解得.31、（2005）设函数在x＝0处连续，其中求a。解：因为F(x)在处连续，所以,故。32、（2005）设函数是由参数方程所确定，求.-59-第二章导数计算及应用解：33、（2005）证明方程在[-1,1]上有且仅有一个实根.证明：令
