kch导数计算及应用￥￥

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1、第二章导数计算及应用本章主要知识点l导数定义l复合函数求导,高阶导数,微分l隐函数,参数方程求导l导数应用一、导数定义函数在处导数定义为左导数右导数导数存在有限且分段点求导必须应用定义。两个重要变形：1.2.若存在，例2.1.若，求解：＝例2.2.若求解：＝例2.3．求解：所以不存在.例2.4．，求解：所以不存在。例2.5．求。解：不存在所以不存在例2.6．如果，分析函数在x=0处的连续性。解：所以f(x)在x=0处不连续。二、复合函数求导、高阶导数、微分1．复合函数中的层次关系识别正确识别复合函数构建的层

2、次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。例2.7．由外及里分为四层：例2.8．分为一层：例2.9．分为三层：立方例2.10．分为四层：化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。2、复合函数的求导原则我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”：“外及里；号变号；则用则；层间乘”。例2.11．，求，解：例2.12．，求；解：例2.13．，求；解：例2.14．，求解：分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。例2.15．，求解：，综合得，。例2.

3、16.，求解：，所以不存在。例2.17.已知，（1）求；（2）研究在处的连续性。解：（1），。（2），不存在，故在处不连续，且为II类间断。3.高阶导数与微分（1）高阶导数，几个常用公式（1）（2）（3）（4）（5）莱伯尼兹公式例2.18.，求解：例2.19.，求解：例2.20．，求解：例2.21．，求解：例2.22．，求解：例2.23．，求解：（2）一阶微分定义：对于函数，如果存在常数，使得：则称在处可微。成立：在可导可微，且。可作为微分求解公式。例2.24．，求解：。例2.25．，求。解：，例2.26．

4、，求解：，，故，所以。例2.27．利用微分近似计算。解：令，则=。4、求导中若干特别问题（1）奇偶函数导数结论：奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数。例2.28．f（x）为奇函数，。例2.29．f(x)为可导函数，则的导数为（偶函数）。（2）（3），在x＝a导数最大阶数等于m+n-1.例2.30．导数最大阶数为（1阶）。（4）例2.31．求解：（5）符号型求导例2.32.,求。解：三、隐函数、参数方法求导1．隐函数求导由方程确定的函数，隐函数求导可看成复合函数求导的特例。例2.33．由确定隐函数，求。解：方程两

5、边对求导得例2.34．由方程确定隐函数,求.解：方程两边对求导，得：（*）=，（*）式再对求导，得：例2.35．已知由方程确定，求.解：将代入，得到。方程两端对求导，得，，。2．参数方程求导问题：,求,.求导公式：==，=.例2.36．已知求,.解：===，===.例2.37．已知，求，，并给出时的切线法线方程.解:==,==，斜率==，，，切线方程为。法线斜率，法线方程为：例2.38．已知由确定，求。解：将方程中分别看成为的函数，分别对求导得解得：=，=所以==。四、导数应用（a）斜率和几何应用（b）洛必

6、达法则求极限（c）函数单调性,凹凸性,极值与拐点,渐近线（d）最大值，最小值与实际应用（e）微分中值定理的应用（f）证明不等式1．斜率与几何应用函数在处导数为切线斜率，即,过点的切线方程为=。法线方程为=。例2.39．，求过的切线方程。解：，切线方程为=。例2.40．过点引抛物线=的切线，求切线方程。解：设切点为，因=，，切线方程为=，因为亦在切线上，所以=，，，所以，切线方程为=±。图示2.1例2.41．问函数=哪一点上的切线与直线=成600角？解：设切线斜率为，=，=，=，=解得：=，==，解得：=.2

7、．洛必达法则洛必达法则是导数对极限的应用，归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要的一个题型。洛必达法则：若且在的邻域附近可导。如果成立则。注：①洛必达法则处理的形式必须是未定式。对于,，等必须变形为形式。②洛必达法则是一个充分性的法则，若不存在，则说明此方法失效。③洛必达法则只要前提正确，可重复使用。④一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳。注意其和连续，可导概念结合的综合题。例2.42．解：原式=例2.43．解：原式=例2.44．解：原式例2.45．解：原式=例2.46．解：原式=

8、例2.47．解：原式=例2.48．解：由罗必塔法则，原式＝这不说明原式不存在，仅说明洛必达法则对此题无效。原式=例2.49．解：例2.50．解：原式=例2.51．解：原式=例2.52．设有二阶连续导数，且，。证明：有一阶连续导数。解：当时，在处连续：因所以，故在=0处连续。综上所述g(x)有一阶连续导数。3．函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性a、单调性如果则在上严格单调增加，，则在上严格单调减少。满足的点称为