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《线性代数（含全部课后题详细答案）7第七章线性空间与线性变换习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题七A组1・填空题(1)向量组(1,1,0,-1),(1,2,3,0),(2,3,3,-1)生成的向量空间的维数是.解2.(2)设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V,则它的维数是・解6.(3)次数不超过2的多项式的全体构成线性空间P[x]2,其屮的元素/(x)=x2+x+l在基l,x-l,(x-1)(兀_2)下的坐标是解(3,4,1厂‘1、0,=1,a?=1J丿丄是向量空间％的一个基，在该基下的坐标1A(([}⑴(5)二维向量空间R?中从基0二,a.=到另一个基0严，0,=的过渡矩阵3丿丿U丿(2丿是.(23)解-2
2、丿(6)三维向量空间中的线性变换T(x,y,z)=(x+y,x-y,z)在标准基勺=(1,0,0),e2=(0,1,0),勺=(0,0,1)下对应的矩阵是.‘110、解1-10.、001丿2.选择题(1)下列说法中正确的是・(A)任何线性空间屮一定含有零向量；(B)由厂个向量生成的子空间一定是厂维的;(A)次数为n的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；(B)在72维向量空间V中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V的子空间.(2)下列说法中错误的是•(A)若向量空间V中任何向量都可以由向量组0],。2，・・・，°
3、“线性表示,则0,。2,…，％是V的一个基；(B)若〃维向量空间V中任何向量都可以由向量组…，％线性表示，则…，％是V的一个基；(C)若斤-1维向量空间V中任何向量都可以由向量组0,闵，…，乞线性表示，则0,^2,…，％不是V的一个基；(D)"维向量空间V的任一个基必定含有"个向量.(1)下列3维向量的集合中，是R'的子空间.(A){(%,,x2,x3)
4、xtx2x3<0;x,,x2,x3gR}；(C){(xpx2,x3)x}=x2=x3;xpx2,x3gR};(B)
5、(xpx2,x3)%(2+x22+x32=1;xpx
6、2,x3g(D){(x1,x2,x3)
7、x,>x2>^3；XpX2,X3GR]•(2)在认中，下列向量集合构成子空间的是(A)(0,0),(0,1),(1,0)组成的集合；(B)(0,0)组成的集合；(C)所有形如0,1)的向量组成的集合；(D)满足x+y=l的所有(x,y)组成的集合.(3)匕的下列变换不是线性变换.(A)T(x,y)=(0,0)；(B)T(x,y)={cix+by,cx-^-dy),a,b,c、d是实数;(C)T(x,,y)=(x+y,1)；(D)T(x,y)=(0,x-y).解(1)A;(2)A;(3
8、)C;(4)B：(5)C.3.验证：(1)主对角线上元素Z和等于0的2阶矩阵的全体S,；(2)2阶对称矩阵的全体S?,对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基.解(1)任取AeS^BeS^其中ci,b,cde、f表示任意实数，则对于任意的匕/lwR,有线性运算的封闭性成立:kA+AB=(ka+Zbkc+Aeyykd十入f-ka-Abyfl0>/<0T丿3的一个基是o>P0、J0>(2)任取/wS2,BeS2,对于任意的k,壮R,都满足运算成立:(kA+Z5)t=Zs4t+X5t=^+AjBg52.fl
9、0)(00)(20丿(01丿y52的一个基是4.验证：与向量(0,1,0)T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.证明与向量(0,1,0)1不平行的全体3维数组向量的集合记作V,a=(l,l,lj「,0=(l,O,lj「wV,但a-/?=(0,l,0)T^V,所以V不是线性空间.5.设(7是线性空间V的一个子空间，证明：若(/与V的维数相等，则U=V.证明设…、％是U的一个基，因为t/oV,所以GV.对于任意的6TGV,必定可被0,他，…，乞线性表示，否则与““与V的维数相等”矛盾.由a的任
10、意性知Vuiz,从而u=v.6.判断的下列子集是否构成子空间，说明理由./a,0c0丿解(1)不构成.由于b0)<2+/?+c=0,a.h.ceR>.0、0丿00、00丿即叫对矩阵加法不封闭・(2)构成.任取bq0、。丿(a2h2、0c20、°丿eW2,于是对任意R,kAQ]+b]+C]=0,6T2+/?2+c2=0,Qi+禺+b]+bj+C]+c?=0，(ax+a2bx+b20、、0c]+c20丿eW2.rkaAkb、0、11、子空间.7.判断R2X2的下列子集是否构成子空间，说明理由.(1)由所有行列式为零的矩阵所组成的集合说;(2)由所有满足A2=A的矩阵组成的集合％.解(1)不构成.取/二<1<00、o>,B=0、b,A.BeW^但是A+B=‘10、<0b(2)不构成.取单位矩阵E此/+加法不封闭•,E2=E,£gW2,
