第七章线性空间与线性变换

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1、第七章线性空间与线性变换第三章在向量与线性运算的基础上引入了n维向量空间的概念。本章我们把向量空间推广到更一般的情形，得到线性代数的一个基本概念——线性空间；然后介绍线性空间中的一种最基本变换——线性变换。§1线性空间的定义与性质首先引入数域的概念。定义1：设P是包含0和1的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)均在P内，则称P为一个数域。显然有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域。定义2：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义加法运算，即对于V中任意两个元素与，在V中有唯一的元素与它们对应，称为与的和；且该加法运算满足：(1)(交换

2、律)(2)(结合律)(3)(零元素)存在元素0，对V中任一元素，都有(1.1)(4)(负元素)对V中每一个元素，存在的负元素，使在集合V的元素与数域P的数之间定义数乘运算，即对于V中任一元素与P中任一数k，在V中有唯一的元素与它们对应，称为k与的数乘；该数乘运算满足：(5)(向量加法分配律)(6)(数量加法分配律)(7)(结合律)(1.2)(8)(单位元)以上规律中是V中的任意元素，是P中的任意数。则称V为数域P上的线性空间；满足上述规律的加法和数乘运算统称为线性运算。线性空间V的元素也可以称为向量，此时它的含义要比第三章中的向量含义更广泛。下面列举一些线性空间的例子

3、。例1全体n维实向量依照向量的加法和向量与实数的数乘构成实线性空间，称为n维向量空间，记为。例2设为所有阶实矩阵构成的集合，对于矩阵的加法运算及任意实数与矩阵的数乘运算，构成实数域上的线性空间，称为矩阵空间。140例3设表示实数域R上次数小于n的x多项式集合，在通常意义的多项式加法和实数与多项式乘法的运算下，构成一个实数域R上的线性空间。例4设为实矩阵，记(1.3)则构成实数域R上的线性空间，称为齐次线性方程组的解空间，也称为矩阵A的核或零空间。例5设为实矩阵，记(1.4)则构成实数域R上的线性空间，称为矩阵A的值域空间。例6全体实函数，按照函数加法和函数与实数的乘法

4、，构成一个实数域上的线性空间。由定义可以推出线性空间的一些简单性质：性质1线性空间V的零元素是唯一的。证设和是V的两个零元素，即对任何，均有性质2线性空间V中任一元素的负元素是唯一的。证设V的元素有两个负元素和，即，。于是由于负向量的唯一性，我们可以将的负向量记为。性质3，，。证因为，所以；而，于是；又由于，，即。性质4若，则有或者。证假设，则；另一方面，有，即有。在例4中，给出了线性方程组的所有解构成的线性空间，显然这个线性空间是的一个子集合，一般地可以引入子空间的概念。定义3：设V是数域P上的线性子空间，W是V的一个非空子集，若W对于V上的加法和数乘运算，也构成一

5、个线性空间，则称W为V的一个线性子空间(简称子空间)。每个非零线性空间V至少有两个线性子空间，一个是它自身V，另一个是仅由零向量构成的子集合，称为零子空间。一个非空子集满足什么条件才可构成子空间？W既然是V的子集合，那么W中的元素满足定义2中的条件(1)、(2)和(5)~(8)是显然的，因此只要W满足条件(3)、(4)同时对线性运算封闭即可。于是我们有140定理1线性空间V的非空子集W构成V的一个子空间的充分必要条件是：W对于V上的线性运算封闭。例7设线性空间中次数小于r()的多项式全体，构成的一个线性子空间。例8设是线性空间V中一组向量，其所有可能的线性组合的集合(

6、1.5)非空，并且对线性运算是封闭的，因此构成的V的线性子空间(1.6)称为是由向量组生成的生成子空间。§2线性空间的维数、基与坐标在线性空间中同样可以引入线性组合、线性相关性、极大线性无关组等概念，并得到与向量空间中类似的结论。在此基础上可以定义线性空间的基、维数与坐标等概念。定义1：设线性空间V中的n个向量满足：(1)线性无关；(2)任意的都可由线性表示，即存在一组有序数，使(2.1)则将向量组称为线性空间V的一组基；向量组所含向量数n称为线性空间V的维数，记为。维数为n的线性空间称为n维线性空间，记为。由定义1可见，线性空间的维数就是它的一组基所含的向量个数。当

7、确定了一组基之后，线性空间中的任一向量在该组基下的表示就是唯一的。设为线性空间的一组基，则对任意的元素，都有一组有序数，使(2.1)式成立；并且可以证明，这组有序数是唯一的。反之，任给一组有序数，总有唯一的元素可以由线性表示，即同样成立(2.1)式。由此可知，如果是线性空间的一组基，对任一元素，都可以表示为(2.2)这样，的元素与有序数组之间存在着一种一一对应关系，因此可以用这有序数组来表示元素。于是我们有140定义2：设是线性空间的一组基，对于任一元素，有且仅有一组有序数，使(2.1)式成立，则称该有序数组为元素在基下的坐标，并记元素的坐标为(2.