线性代数 谭福锦 黎进香第7章 线性空间与线性变换 第七章 线性空间与线性变换

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1、第七章线性空间与线性变换线性空间与线性变换是数学中最基本的概念之一.它不仅是线性代数的核心内容,而且它的理论和方法已经渗透到了自然科学、工程技术和经济管理等各个领域.由于学时所限,本章只介绍它的一些基本内容,主要介绍线性空间的概念及其性质、基与维数,线性变换的概念以及线性变换的矩阵表示.第七章线性空间与线性变换第一节线性空间的定义与性质第二节维数、基和坐标第三节线性变换及其矩阵表示第一节线性空间的定义与性质一、线性空间的定义为了便于理解线性空间的定义,下面先介绍数域的概念.我们在讨论数学问题时,经常要强调数的取值范围,比如讨论一元二次方

2、程的解时,如果忽略范围,就容易得出此方程无解的结论.其实正确的结论是此方程在实数范围内无解,但在复数范围内有两个解：可见考虑数的取值“范围”对解题的重要性.把数的取值“范围”看做一个数集,我们给具有下述两个性质的“数集”一个专称——“数域”.定义7.1设K是一个数集,如果K满足：0,1∈K;对于任意的a,b∈K,都有a±b,ab∈K,且当b≠0时,有∈K,则称K是一个数域.数域K满足第(2)个条件可以说成：K对于加、减、乘、除四种运算封闭.显然,有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域,分别称Q、R、C为有理数域、实数域、复数域,这三个集

3、合之间关系是：QRC.但是自然数集N和整数集Z都不是数域.除了Q、R、C外还有很多的数域.例如,令显然,0=0+0·Q(),1=1+0·Q().并且容易验证Q()对于加、减、乘、除四种运算是封闭的,所以Q()是一个数域.在空间解析几何中,学习了三维向量及其一些运算.在R3中,首先学习了加法和数乘运算,及对任意的x=(x1,x2,x3)∈R3,y=(y1,y2,y3)∈R3,z=(z1,z2,z3)∈R3及任意的λ,μ∈R3.它们具有如下性质：x+y=y+x；(x+y)+z=x+(y+z);R3中有一个零向量0=(0,0,0),使得x

4、+0=x;对任一x∈R3,都有一个向量-x∈R3,使得x+(-x)=0;1x=x;λ(μx)=(λμ)x；(λ+μ)x=λx+μx；λ(x+y)=λx+λy.不仅如此,对于实数域上的所有n元有序数组Rn,实数域上的所有m×n矩阵的集合Rm×n等,尽管其中元素不同但它们在运算上都是有上述八个共同的性质.我们由上述例子的共同之处：给定一个集合,一个数域,定义两种运算(加法与数量乘法),且要求这两种运算满足八条运算法则这个观点出发,抽象出线性空间的概念.定义7.2设V是一个非空集合,K是一个数域.如果有一个规则,使得对V中任意两个元素α,β,

5、在V中都有唯一的元素γ与之对应,则称其为α与β的和,记为γ=α+β.即在V中定义了加法运算.还有一个规则,使得对于K中任意一个数λ与V中任意元素α,在V中都有唯一的元素δ与之对应,则称δ为λ与α的数量乘积.记为δ=λα.即定义了V中的数乘运算,并且这两种运算满足如下8条规律：对任意的α,β,γ∈V,任意的,λ,μ∈K,有α+β=β+α；(加法交换律)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(加法结合律)V中有一个元素记作0,它使得α+0=α(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；对于α∈V,存在β∈V,使得α+β=0(具有这个元素的β称为α的负

6、元素)；1α=α；λ(μα)=(λμ)α；(数乘结合律)(λ+μ)α=λα+μα；λ(α+β)=λα+λβ；其中(7)、(8)称为数乘分配律.则称集合V是数域K上的一个线性空间或向量空间,V中的元素常称为向量,V中的零元素常称为零向量.数域K上的线性空间V记为VK.V中所定义的加法和数乘运算统称为V的线性运算.下面举一些线性空间的例子.例7.1数域K上的n个有序数组组成的集合记为K.即：Kn={x=(x1,x2,…,xn)︱xi(i=1,2,…,n)∈K},对于通常的向量的加法和数乘运算构成了数域K上的线性空间,而在前面的若干章节中,用

7、的多是Rn.例7.2数域K上所有的m×n矩阵的集合即：Rm×n={A=(aij)m×n︱aij∈K},对于通常的向量的加法和数乘运算构成了数域K上的线性空间,而在前面的若干章节中,用的多是Rm×n.例7.3闭区间[a,b]上的全体实连续函数,对于通常的函数加法和数与函数的乘法运算构成实数域上的线性空间,记为C[a,b].在开区间(a,b)内有k阶连续导数的实函数Ck(a,b)对同样的加法和数乘运算也构成实线性空间.例7.4数域K上所有n个有序数组的集合Kn={x=(x1,x2,…,xn)︱xi(i=1,2,…,n)∈K},对于通常的向量

8、加法及如下定义的数乘运算λ·(x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0)不构成一个线性空间.这是由于1·(x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0)≠(x1,x2,…,xn).二．线性空间的性质设V是数域K