2016年宁夏银川一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）解析版

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2015-2016学年宁夏银川一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的・）1.（5分）若集合A={x|x2-x-6WO},B={xx<-1或x>4},则集合AnB等于（）A.{x|xW3或x>4}B.{x|・2WxV・1}C.{x|3WxV4}D.{x|・1VxW3}2.（5分）命题"若x2+y2=（）,x、yeR,则x=y=O,/的逆否命题是（）A.若xHyHO,x^yWR,则x2+y2=0B.若x二yHO,x、yeR,则x2+y2^0C.若xHO且yHO,x、y£R,则x2+y2^OD.若xHO或yHO,x、yWR,则x2+y2^O3.（5分）直线1过抛物线x2=2py（p>0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6,AB的屮点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是（）A.x2=12yB.x2=8yC.x2=6yD.x2=4y4.（5分）已知四边形ABCD的三个顶点A（0,2）,B（・1,・2）,X（3,1）,且反二2忑，则顶点D的坐标为（）A.（2,—）B.（2,）C.（3,2）D.（1,3）225.（5分）函数f（x）Jx2+23，晟0的零点个数为（）-2+lnx,x>0A.3B.2C.1D.06.（5分）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin（cot+（J））（A>0,co>O,）的图2象如右图所示，则当匸丄秒时，电流强度是（）100A.-5安B.5安C.朋安D.10安7.（5分）己知{aj是等差数列，a4=15,S5=55,则过点P（3,a3）,Q（4,羽）的直线斜率为（）A.4B.—C.-4D.448.（5分）己知点Fi（-、伍，0）、F2（{艮0）,动点P满足|PF?|-|PFi|=2,当点P的纵坐标是丄时,2点P到坐标原点的距离是（）A.鱼B.色C.V3D.2229.（5分）若直线2ax+by-2=0（a>0,b>0）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则2+丄的最小值是（） ab A.2-^2B.V2-1C.3+2V2D.3-2V2221.（5分）设Fi、F2分别是双曲线务-务二1（a>0,b>0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一a2b2点P，使PF^PF^O，且AF1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A.V2B.a/3C.2D.511・（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M,N在大圆内所绘出的图形大致12.立,A.是（A-B.C-D.(5分)己知函数y=f(X)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，不等式2f(x)+2x・F(x)<0成若a=30,2f(30,2),b=(log兀2)f(logn2),c=(log2—)f(log?—),贝！Ja,b,c之间的大小关系为()44a>c>bB.c>a>bC.b>a>cD・c>b>a二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分・）fx-y+l<013.（5分）若实数x、y满足x>0,贝律的取值范围是—.[y<2X14.（5分）设函数f（x）=log3（9x）・log3（3x）,丄WxW9,则f（x）的最小值为.915.（5分）一动点在圆x2+y2=l±移动时，它与定点B（3,0）连线的中点轨迹方程是.16.（5分）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形...，如此继续.若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为亚，则最小正2方形的边长为.三、解答题（本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・） 13.（12分）在ZABC屮，角A,B,C所对的边分別为a,b,c,且满足cos盘二色爲・AC=3.25（1）求ZXABC的面积；（2）若c=l,求a的值.14.（12分）等差数列｛如｝的各项均为正数，迦=3,前n项和为Sn,｛bn｝为等比数列，bi=l,且b2S2=64,b3S3=960.（1）求稣与bn；（2）求和：丄・・・Sis2Sn15.（12分）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点，斜率为2伍的直线交抛物线于A（xj,yi）,B（x?,y2）（X］2为原点）是以0为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由.［选修4小几何证明选讲］（共1小题，满分10分）22.（10分）选修4・1：儿何证明讲已知△ABC44,AB=AC,D是AABC外接圆劣弧疋上的点（不与点A,C重合），延长BD至E.（1）求证：AD的延长线平分ZCDE；（2）若ZBAC=30°,AABC中BC边上的高为2+馅，求AABC外接圆的面积. ［选修4・4；坐标系与参数方程］(共1小题，满分0分)22.在直角坐标系xOy屮，以0为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为pcos(0-芈)=1,M,N分别为C与x轴，y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.［选修4・5：不等式选讲］(共1小题，满分0分)23.设函数f(x)二|x・l|+|x・a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)33(2)如果VxER,f(x)$2,求a的取值范围. 2015-2016学年宁夏银川一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的・）1.（5分）（2016春•漳州校级月考）若集合A={x|x2-x-6^0},B={x|x<・1或x>4}，则集合AnB等于（）A.{x|xW3或x>4}B.{x|・2Wx<・1}C.{x|3Wx<4}D.{x|・l4},.•.AnB={x|-2WxW3}c{x|x<-1或x>4}={x|-2WxV-1}故选B.【点评】本题考查集合的性质和运算，解题时要根据实际情况，注意公式的灵活运用.2.（5分）（2015秋•天水校级期末）命题"若x2+y2=0,x、y^R,则x二y二0〃的逆否命题是（）A.若xHyHO,x、yeR,则x2+y2=OB.若x=yHO,x、yWR,则x2+y27^0C.若xHO.且yHO,x、yWR,则x2+y2^0D.若xHO或yHO,x、y^R,则x2+y2#0【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可.【解答】解：根据逆否命题的定义对得命题的逆否命题为：若xHO或yHO,x>yWR,则x2+y2^0,故选：D.【点评】本题主要考查逆否命题的判断，根据逆否命题的定义是解决本题的关键.比较基础.（5分）（2015秋•赤峰校级期末）直线1过抛物线x2=2py（p>0）的焦点，II与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是（）A.x2=12yB.x2=8yC.x2=6yD.x2=4y【分析】设A（X）,yi）,B（X2，y2），由题意得到xi+x2=2,xi+x2+p=6,由此能求出此抛物线方程.【解答】解：设A（xi，yi）,B（X2，y2），•・•直线1过抛物线x2=2py（p>0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，AB的中点到x轴的距离是1,・°・X1+X2二2,T线段AB的长是6,/.X|+x2+p=6,解得p=2,・••此抛物线方程是x2=4y.故选：D.【点评】本题考查抛物线方程的求法，是中档题，解题时耍认真审题，注意抛物线性质的合理运用. 4.（5分）（2008*辽宁）己知四边形ABCD的三个顶点A（0,2）,B（-1,-2）,X（3,1）,且瓦二2忑,则顶点D的坐标为（）A.（2,—）B.（2,）C.（3,2）D.（1,3）乙乙【分析】本小题主要考查平而向量的基本知识，先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，根据向量的数乘关系，得到向量坐标之间的关系，由横标和纵标分别相等，得到结果.【解答】解：设顶点D的坐标为（x,y）7BC=（4,3），AD=（x,y-2），且焦二2兀,・・・严°[2y-4=3故选A【点评】向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标.5.（5分）（2010＞福建）函数f（x）Jx2+2x-3,的零点个数为（）-2+lnx,x＞0A.3B.2C.1D.0【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点.由所得的个数选出正确选项.【解答】解：当xWO时，令x2+2x-3=0解得x=・3；当x＞（）时，令・2+lnx=0解得x=l（）0,所以己知函数有两个零点，故选：B.【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题.6.（5分）（2009*韶关一模）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I二Asin（皿+«）（A＞0,u）＞0,o＜4）＜2L）的图象如右图所示，则当匸丄秒时，电流强度是（）2100A.・5安B.5安C.5貞安D.10安【分析】通过函数的图彖求tBA,T,然后利用周期公式求出3,（丄，10）为五点中的第二个点,300代入表达式，即可求出4）的值，得到函数解析式，代入匸丄秒，即可求出电流强度.100 ・・4【解答】解：由图象可知5亍喘-爲匾=100兀•：函数1=1Osin(1OOnt+4)).10）为五点中的第二个点,3001兀A100rX^L_+4）=—3002兀兀V0<4)<—-A4)=—,261=1Osin(100nt+—).当匸丄秒时，1=-5安100故选A【点评】本题是基础题，考查学生视图能力，考查由y二Asin（u）x+e）的部分图象确定英解析式，此是近儿年高考中对三角函数的图象与性质考查的一种较热的题型，注意把握其解题规律.注意隐含条件0<4）V匹的应用.24.（5分）（2013*沈阳二模）己知｛aj是等差数列，34=15,S5=55,则过点P（3,旳），Q（4,a4）的直线斜率为（）A.4B.丄C.・4D.■丄44【分析】由S5=55,求出屯的值，即可求出04-a3的值，利用两点求斜率的方法表示出直线的斜率，然后把04・a3的值代入即可求出直线的斜率.【解答】解：・・・｛如｝是等差数列，・；S5=5a3=55,・：a3=11..*.a4-a3=15-11=4,故选A【点评】此题考查学生运用等差数列的性质化简求值，会根据两点的坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题.5.（5分）（2004・辽宁）己知点Fi（■忑,0）、F2（伍，0）,动点P满足〔PFqI-|PFil=2,当点P的纵坐标是丄时，点P到坐标原点的距离是（）2A.垂B.色C.V3D.222【分析】由已知题设条件得a=l,c=V2,b=l,点P的轨迹为双曲线x2-y2=l,将y专代入，得到P点坐标，从而求出点P到坐标原点的距离.【解答】解：由已知得a=l,c=V2，b=l,点P的轨迹为双曲线x2-y2=l, 将y二丄代入，得24•••gg列R哼故选A.【点评】本题考查双曲线的定义和两点间距离公式，解题注意仔细审题，避免错误.4.（5分）（2016春•武汉校级月考）若直线2ax+by-2=0（a>0,b>0）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则Z+丄的最小值是（）abA.2-V2B.V2-1C.3+2V2D.3-2V2【分析】由题意可得直线2ax+by-2=0（a>0,b>0）经过圆x2+y2-2x-4y-6=0的圆心，可得a+b=l•再根据2+丄二主E+也二3+坐+2利用基本不等式求得它的最小值.ababab【解答】解：由题意可得直线2ax+by-2=0（a>0,b>0）经过圆x2+y2-2x-4y-6=0的圆心（1,2）,故有2a+2b二2,即a+b=l.再根据2+l=2a+2b_+a+b=3+_2b+_a3+2l2b_pa_=2+2^,当且仅当至=2时，取等号，abababvabab故Z+丄的最小值是3+2忑,ab故选：C・【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题.225.（5分）（2015春•湖北期末）设Fi、F?分别是双曲线备■务二1（a>0,b>0）的左、右焦点，若a2b2双曲线的右支上存在一点P，使且AFiPF?的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A.V2B.V3C.2D.5【分析】由已知可得,PF1>PF2,PF1丄PF2,由AFiPF?的三边长构成等差数列,可得2PF尸F1F2+PF2,结合双曲线的定义，PF】=PF2+2a,利用勾股定理可得PF12+PF22=F1F22,代入可求【解答】解：由P为双曲线的右支上一点可知，PFi>PF2•••耳•亟二0・・・PF］丄PF2/.FiF2>PFi>PF2由ZF|PF2的三边长构成等差数列，可得2PFi=FiF2+PF2=2c+PF2①又由双曲线的定义可知，PF】・PF2=2a即PF］二PF?+2a②①②联立可得，PF2=2c・4a,PFi=2c-2a・pf1-pf2=o 二PF]2+pF?2=f[f22R卩（2c・4a）2+（2c-2a）2=4c2整理可得，c2-6ac+5a2=0Vc>ac=5ae=5故选D【点评】本题主要考查了双曲线的定义及性质在求解双曲线方程中的应用，解题的关键是确定等差数列的中间项.II.（5分）（2011・江西）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M,N在大圆内所绘出的图形大致是（【分析】根据己知中直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.我们分析滚动过程中，M,N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，及点M,N运动的规律，并逐一•对四个答案进行分析，即可得到答案.【解答】解：如图，由题意可知，小圆Oi总与大圆O相内切，且小圆5总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A,此时动点M所处位置为点NT,则大圆圆弧帀[与小圆点M转过的圆弧相等.以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆Oi的交点为Mi，1HZAOM=0,则ZOMiOi=ZMiOOi=0,故ZMiO!A=ZMiOOi+ZOMiOi=20.大圆圆弧的长为11=0X1=0,小圆圆弧:乔一；的长为12=20即1冃2，・•・小圆的两段圆弧而T与圆弧两丁长相等，故点Ml与点M，重合，即动点M在线段M0上运动，同理可知，此吋点N在线段0B上运动.点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段.观察各选项，只有选项A符合.故选A. 【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中分析出M,N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解答本题的关键.12.(5分)(2016春•武汉校级月考)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，不等式2f(x)+2x・r(x)V0成立,若a=3°'2f(3°卫)，b=(logn2)f(logn2),c=(log?丄)f(log2—),则a,b,44c之间的大小关系为()A.a>c>bB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a【分析】构造函数g(x)=xf(x),由于当x>0时，不等式f(x)+x・F(x)<0成立，利用导数可得当x>0时，函数g(X)单调递减.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，可得函数g(X)在R上是奇函数.进而得到g(x)在R上是减函数.【解答】解：构造函数g(x)=xf(x),则gz(x)=f(x)+xf(x),当x>0时，不等式f(x)+x*f(x)<0成立，・••当x>0时，gz(x)<0,函数g(x)单调递减.•・•函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，/.g(-X)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),・・・g(x)在R上是奇函数.Ag(x)在R上是减函数.Va=3°'2*f(30,2),b=(logn2)・f(logn2),c=(log』)f(log?—),Iog2—=-2.444・2b>a,故选：D.【点评】本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、对数的运算性质及其单调性，考查了推理能力与计算能力.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，满分20分・)'x-y+KO13.(5分)(2012.常州校级模拟)若实数x、y满足x>0,则兰的取值范围是一［色，+^)・x2【分析】画出约束条件表示的可行域，求线性目标函数的范围，通过可行域内的点与原点(0,0)构成 的直线的斜率解答问题. &-y+l<0【解答】解:不等式组x>0表示的可行域如图阴影部分:.x<2当里表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率,X即经过(x—y+l二0的交点A(2,3)吋，丘二2兰取得最小值为丄，所以答案为［丄，+oo),X22【点评】本题考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率.是解题的关键.12.(5分)(2015秋•银川校级月考)设函数f(x)=log3(9x)・log3(3x),丄WxW9,则f(x)的最小9值为・丄・【分析】f(x)=log3(9x)・log3(3x)=(log3x)2+31og3x+2,令t=log3X,则・2WtW2,由此能求出函数f(x)的最小值.【解答】解：・・•丄WxW9,9.*.f(x)=log3(9x)・log3(3x)=(log3X+2)(log3X+l)=(log^x)2+31og3x+2,令t=log3X,则-2WtW2,•e.g(t)=t+3t+2,当=一色时，函数取得最小值-丄.24 故答案为：■丄.4【点评】本题考查函数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数运算法则及换元法的合理运用.12.（5分）（2016春•浦东新区期末）一动点在圆x'+y?"上移动时，它与定点B（3,0）连线的中点轨迹方程是x'+y?・3x+2二0・【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程.【解答】解：设中点坐标为（x,y）,则圆上的动点坐标为（2x-3,2y）所以（2x・3）2+（2y）2=1即x2+y2-3x+2=0故答案为：x2+y2-3x+2=0【点评】本题考查屮点坐标公式、利用相关点法求动点的轨迹方程.13.（5分）（2016・银川一模）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形,等腰直角三角形的直角边上再连接正方形…,如此继续.若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长,则最小正方形的边长为—寺【分析】正方形的边长构成以亚为首项，以亚为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助22于求和公式，可求得正方形边t变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长.【解答】解：由题意，正方形的边长构成以里为首项，以里为公比的等比数列，现已知共得到102322个正方形，则有1+2+...+2「J1023,. =10・・・最小正方形的边长为丄2232故答案为丄32【点评】本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式.三、解答题（本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・）14.（12分）（2012*陆丰市校级模拟）在AABC屮，角A,B,C所对的边分別为a,b,c,且满足cosA=2^25AB■AC=3■ （1）求AABC的面积；（2）若c=l,求a的值.【分析】⑴利用二倍角的余弦函数公式化简咙，把吨的值代入求出吨的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，又bc=5,根据三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；（2）由bc=5,且c=l,求出b的值，再由cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值.【解答】解:(1)cosA2VscosA=2cos2_~-1-2X又AW(0,r),inA=V1-cos2Ay由AB・AO3得：bccosA=3,即be二5,¥5所以ZSABC的面积为—bcsinA=—X5X—=2；（6分）225（2）由bc=5,而c=l,所以b=5,又cosA=—,5根据余弦定理a2=b2+c2-2bc・cosA,得：宫二厶2+/-2bccosA二十5+1-2X5給二2屈（12分）【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的而积公式以及余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.12.（12分）（2001江西）等差数列｛aj的各项均为正数，ai=3,前n项和为S.,｛bj为等比数列，bi=l,ab2S2=64,b3S3=960.（1）求an与九；（2）求和:4-~-+■■■+J•亍（9+3d）q2二960【分析】（1）设｛如｝的公差为d,｛bj的公比为q,由题设条件建立方程组彳厂，解S2b2=（6+d）q=64这个方程组得到＜1和q的值，从而求出an与bn.(2)由Sn=n(n+2),知-(—~»由此可求出的值•Snn(n+2丿2nn+2SjS2Sn依题意有【解答】解：(1)设｛aj的公差为d,｛bn｝的公比为q,则d为正整数,an=3+(n-1)d,bn=qn_1亍(9+3d)q2二960—S2b2=(6+d)q二64d=2,或q=8解得d=_f40(舍去)Q=—故an=3+2(n-1)=2n+l,bn=8n1 (2)Sn=3+5+・・.+(2n+l)=n(n+2)于丄一…灯一而1八.111、亠亠.•亠亠亠亠+_3_2n+3"T2（n+l）（n+2）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答.12.（12分）（2015秋•广安期末）己知抛物线y2=2px（p>0）的焦点，斜率为2砲的直线交抛物线于A（xi，yi）,B（X2,y?）（X］Vx2）两点，且IAB|=18.（1）求该抛物线的方程；（2）0为坐标原点，C为抛物线上一点，若疋二预+入廷，求入的值.【分析】（1）设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x】+x2・再利用弦长公式|AB|=Xi+X2+p，即可得到p,则抛物线方程可得.（2）由p=8,x2-10x+16=0求得A,B坐标，再求得OC的坐标，代入抛物线方程即可解得入.【解答】解:（1）抛物线y2=2px的焦点F（P,0）,准线方程为x=・P.22・•・直线AB的方程为y=2V2（x-P）,A°r代入y=2px可得4x~・5px+p_=0Xa+Xb—p，由抛物线的定义可知,|AB|=|AF|+|BF|=xa+xb+p—P=184/.p=8.・•・该抛物线的方程为y2=8x；（2）由p=8,x2-10x+16=0,/.xi=2,X2=8,・・・『］二-4砲，y2=8V2，从而A（2,-4竝,B（8,8^2）.设应二（X3,y3）=（2,・4、厲）+入（8,8a/2）=（8X+2,8血・4、伍）又［8a/2X・4伍）］2二16（8入+2）,解得：入二0,或入二2・【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.直线与圆锥曲线的综合问题.考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力.13.（12分）（2008・辽宁）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-冈,（0,馆）的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.（I）写出C的方程； （II）设直线y二kx+1与C交于A,B两点.k为何值时杰丄忑？此时|爲|的值是多少？・【分析】（I）设P（x,y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆.从而写出其方程即可； 2（II）设A（xi，yi）,B（x2,y2），其坐标满足,*+4一1，将直线的方程代入椭圆的方程，消去yty=kx+1.得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时IAB|的值，从而解决问题.【解答】解：（I）设P（x,y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-冈、（0，”3）为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴b二也?-（岛）当a二8吋，设F（x）=f（x）+g（x+1）,讨论F（x）的单调性；二1，2故曲线C的方程为x2+寿一二（4分）(II)设A(xi，刃)，B(x2,y2)，其坐标满足｛X+_4~=1Ly=kx+1.消去y并整理得(k?+4)x2+2kx・3=(),—•(6分)kz+4 OA丄OB,即x|X2+yiy2=O.而yiy2=k?X]X2+k(x】+x2)+1,3k2+43k2k2+42k2_4k2+lk2+4"k2+4 所以k=±丄时,X[X2+yiy2=0,故OA_LOB.（8分）2当k=±|时，Xi+七二咅，口七二晋.両彳（七-r）2+（y厂％）2二J（l+k2）（七_口）2,帛/、2/」、2V梓，—4X343X13而（X2-XI）=（X2+X1）-4X1X2=—+4X”二5-，171"所以丽斗奔（】2分）【点评】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析儿何知识解决问题的能力.21-分）⑵16•洛阳四模）设函数f（x）兮获+（4+2",g(x)=aln(x-1)>其中aH0・（1）若函数y=g（x）图象恒过定点P,且点P关于直线x=3的对称点在y二f（x）的图象上，求m的值;2 {f(x)2z/、，曲线y二G(x)上是否存在两点P、Q,使ZXOPQ(0glx),为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由.【分析】(I)先得出点P关于直线x二色的对称点(1，0),由题意可得f(1)=0,求出m的值；2(II)先求函数定义域，然后对函数求导，再对字母m分类讨论：当时，当mVO时・分别解f(x)>0,f(x)<0,求解即可.(III)对于存在性问题，可先假设存在，即假设曲线y二G(x)上存在两点P、Q,满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧，再利用AOPQ是以O为直角顶点的直角三角形，求出a的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在.【解答】解：(I)令In(x-1)=0,得x=2,・・・点P关于直线x竺的对称点(1，0),X2.*.f(1)=0,—m+4+m=0,m=-3.3(II)F(x)=f(x)+g(x+1)=mx2+2(4+m)x+81nx,(x>0)・・・・F'(x)=2mx+(8+2m)+5=(3+2in)x+8二(2im・:+8)G:+l),XXXVx>0,・・・x十l〉0,・••当m$0时，8+2mx>0,F(x)>0,此时，F(x)在(0,+^)上是增函数，当m<0时，由F(x)>0得0Vx<-亘，由F(x)<0得x>-亘，inin此时，F(x)在(0,・2)上是增函数，在(・亘，+8)上是减函数，inin综上所述，m20时，8+2mx>0,F(x)>0,此时，F(x)在(0,+*)上是增函数，当m<0时，由F(X)>0得0■亘，此时，F(x)在(0,・2)上是增函数，在(・inmm9,+8)上是减函数，mx=C2x>2f_v3.2(III)由条件(I)知，G(x)=('aln(x-1),假设曲线y二G(x)上存在两点P、Q,满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧,设P(t,G(t))(t>0),则Q(・t,t3+t2),•••△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，AOP-OQ=O,即-P+G(t)(t3+t2)=0,①(1)当0VtW2时,G(t)=-t3+t2,此时方程①为・"+(-t3+t2)(t3+t2)=0,化简得t4-t2+l=0,无解.满足条件的P、Q不存在；(2)当t>2时，G(I)=aln(l・1),此时方程①为・t2+aln(l・1)(t3+t2)=0,化简得丄=(t+1)In(t-1),设h(x)=(t+1)In(t-1),则h'(x)=ln(t-1)+七幻，at-1 当t>2吋，F(x)>0,h(x)在(2,+°°)上是增函数，h(x)的值域为(h(2),+°°),即(0,+°°).・••当a>0时，方稈①总有解.综上所述，存在满足条件的P、Q,a的取值范围（0,+-）.【点评】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题时若含冇参数，要对参数的取值进行讨论,而分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用.［选修4・1：几何证明选讲］（共1小题，满分10分）22.（10分）（2009*辽宁）选修4-1：几何证明讲已知AABC中，AB=AC,D是ZABC外接圆劣弧奩上的点（不与点A,C重合），延长BD至E.（1）求证：AD的延长线平分ZCDE；（2）若ZBAC=30°,AABC中BC边上的高为2+J§,求AABC外接圆的面积.【分析】首先对于（1）要证明AD的延长线平分ZCDE,即证明ZEDF=ZCDF,转化为证明ZADB=ZCDF,再根据A,B,C,D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到.对于（2）求AABC外接圆的面积.只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC,根据角Z间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积.【解答】解：（I）如图，设F为AD延长线上一点VA,B,C,D四点共圆，AZCDF=ZABC又AB=ACAZABC=ZACB,且ZADB=ZACB,・e.ZADB=ZCDF,对顶角ZEDF=ZADB,故ZEDF二ZCDF,即AD的延长线平分ZCDE.（II）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH1BC.连接OC,由题意ZOAC=ZOCA=15°,ZACB=75°,ZOCH=60°.设圆半径为r,则a得r=2,2外接圆的面积为4m故答案为4九【点评】此题主要考查圆内接多边形的性质问题，其中涉及到等腰三角形的性质，属于平面几何的问题,计算蜃小但综合能力较强，需要同学们多练多做题. ［选修4・4；坐标系与参数方程］（共1小题，满分0分）(1)写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；(2)设MN的屮点为P,求直线OP的极坐标方程.【分析】(1)先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用pcos0=x,psinO=y,p2=x2+y2,进行代换即得.(2)先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可.从而C的直角坐标方程为即x+V3y=28=0时，p=2,所以M(2,0)(II)M点的直角坐标为(2,0)N点的直角坐标为(0,勺3)3所以P点的直角坐标为(l.d),则p点的极坐标为所以直线OP的极坐标方程为6』，Pe(-oo,+8)6【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系屮用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.［选修4・5：不等式选讲］(共1小题，满分0分)24.(2016*孝义市模拟)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若・1,解不等式f(x)23(2)如果VxER,f(x)32,求a的取值范围.【分析】(1)若a=-1,由绝对值的意义求得不等式f(x)M3的解集.(2)由条件利用绝对值的意义求得函数f(x)的最小值为|a-1|,可得|a-1|=2,由此求得a的值.【解答】解:(1)若a=-1,函数f(x)=|x-l|+|x-a|=|x-l|+|x+l|,表示数轴上的x对应点到1、-1对应点的距离之和，而・1.2和1.5对应点到1、・1对应点的距离之和正好等于3,故不等式f(x)23的解集为{x|W・1.5,或xN1.5}.(2)由于VxER,f(x)$2,故函数f(x)的最小值为2.函数f(x)=|x-l|+|x-a|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a-1|,即|a・11=2,求得a=3或・1.【点评】本题主要考查绝对值的意义，两数的恒成立问题，屈于中档题.