第三篇 导数及其应用第1讲 变化率与导数 导数的运算

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1、第1讲　变化率与导数、导数的运算【2013年高考会这样考】1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导．【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.　基础梳理1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为.若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数

2、y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li＝li为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

3、x＝x0，即f′(x0)＝li.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝li为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式若f(x)＝c，则f′(x)＝0；若f(x)＝xα(α∈R)，则f

4、′(x)＝αxα－1；若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a；若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝.5．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝　(g(x)≠0)．6．复合

5、函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.一个区别曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．两种法则(1)导数的四则运算法则．(2)复合函

6、数的求导法则．三个防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．双基自测1．下列求导过程中①′＝－；②()′＝；③(logax)′＝′＝；④(ax)′＝(elnax)′＝(exlna)′＝exlnalna＝axlna其中正确的个数是(　　)．A．1B．2C．3D．4答案　D2．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　

7、)．A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案　C3．(2011·湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)．A．－B.C．－D.解析　本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．y′＝＝，把x＝代入得导数值为.答案　B4．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为(　　)．A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2

8、，＋∞)D．(－1,0)解析　令f′(x)＝2x－2－＝＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选C.答案　C5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝______；li＝________(用数字作答)．答案　2　－2　　考向一　导数的定义【例1】►利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处切线与曲线f(x)＝x3的交点．[审题视点]正确理

9、解导数的定义是求解的关键．解　f′(x0)＝＝＝(x2＋xx0＋x)＝3x.曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x·(x－x0)，即y＝3xx－2x，由得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.若x0≠0，则交点坐标为(x0，x)，(－2x0，－8x)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量Δy；(2)求平均变化率；(3)求极限li.【训练1】利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函