2019高考数学 导数及其应用第1讲变化率与导数导数的运算分层演练文

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1、第1讲变化率与导数、导数的运算一、选择题1．已知函数f(x)＝cosx，则f(π)＋f′＝(　　)A．－　　　　B．－C．－D．－解析：选C.因为f′(x)＝－cosx＋(－sinx)，所以f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.2．曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为(　　)A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0解析：选C.由于y′＝e－，所以y′

2、x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程

3、为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.3．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(2018)＝6，则f′(－2018)＝(　　)A．－6B．－8C．6D．8解析：选D.因为f′(x)＝4ax3－bsinx＋7.所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsinx＋7.所以f′(x)＋f′(－x)＝14.又f′(2018)＝6，所以f′(－2018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f

4、(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)A．－1B．0C．2D．4解析：选B.由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.5．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为(　　)A．1B.C.D.解析：选B.因为定义域为

5、(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.6．已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)A．－1B．－3C．－4D．－2解析：选D.因为f′(x)＝，所以直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，所以切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有

6、x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2.二、填空题7．曲线y＝lnx在与x轴交点处的切线方程为________．解析：因为曲线y＝lnx与x轴的交点为(1，0)，且函数y＝lnx的导函数为y′＝，所以曲线y＝lnx在点(1，0)处的切线的斜率为k＝＝1.即过点(1，0)，且斜率为1的直线的方程为y－0＝1(x－1)，整理得x－y－1＝0.答案：x－y－1＝08．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2018)＝________．解

7、析：令ex＝t，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求导得f′(x)＝＋1，故f′(2018)＝＋1＝.答案：9．(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.答案：110．(2018·云南第一次统考)已知函数f(x)＝axlnx＋b(a，

8、b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________．解析：由题意，得f′(x)＝alnx＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.答案：4三、解答题11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的

9、切线，求a的取值范围．解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－.所以a的取值范围为∪.12．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，