第1讲 变化率与导数、导数的运算2

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1、第1讲　变化率与导数、导数的运算教学重点：1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导．复习指导：本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.　基础梳理1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为.若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li＝li为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、

3、x＝x0，即f′(x0)＝li.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝li为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式若f(x)＝c，则f′(x)＝0；若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝αxα－1；若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a；若f(x)＝

4、ex，则f′(x)＝ex；若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝.5．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝　(g(x)≠0)．6．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.一个区别曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率

5、存在时，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．两种法则(1)导数的四则运算法则．(2)复合函数的求导法则．三个防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．双基自测1．下列求导过程中①′＝－；②()′＝；③(logax)′＝′＝；④(ax)′＝(elnax)′＝(exlna)′＝exlnalna＝axlna其中正

6、确的个数是(　　)．A．1B．2C．3D．42．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)．A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)3．(2011·湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)．A．－B.C．－D.4．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为(　　)．A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝___

7、___；li＝________(用数字作答)．　　考向一　导数的运算例1、求下列各函数的导数：(1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；.(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导．训练1、求下列函数的导数：(1)y＝xnex；(2)y＝；(3)y＝exlnx；(4)y＝(x＋1)2(x－1)．考向二　求复合函数的导数例2、求下列复合函数的导数．(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝；(3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5)．[审题视点]正确分解函数的复合层次，逐层求导．由复合函数的定义可知，中

8、间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．训练2、求下列函数的导数：(1)y＝；　　　　(2)y＝sin22x；(3)y＝e－xsin2x;(4)y＝ln.考向三　导数与切线例3、已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；例4、已知函数，函数的图像在点的