变化率与导数导数的运算

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1、第1讲　变化率与导数、导数的运算【2014年高考会这样考】1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导.考点梳理1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为__________________．y－y0＝f′(x0)(x－x0)2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数3．函数f(x)的导函数4．基本初等函数的导数公式原函

2、数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝___f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝_______0nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝_______f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝axf′(x)＝_________f(x)＝exf′(x)＝_____f(x)＝logaxf′(x)＝______f(x)＝lnxf′(x)＝____cosx－sinxaxlnaex(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________；

3、f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_______，即y对x的导数等于______的导数与_____的导数的乘积.6．复合函数的导数y′u·u′xy对uu对x5.导数运算法则一个区别曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)

4、过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．【助学·微博】三个防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．1．下列求导过程A．1B．2C．3D．4答案D考点自测A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－

5、a2)．答案C2．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()．3．(2013·福州模拟)曲线y＝e2x在点(0,1)处的切线方程为()．解析y′＝(e2x)′＝2e2x，k＝y′

6、x＝0＝2·e2×0＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1，故选D.答案D答案A解析∵y′＝3x2－1，∴y′

7、x＝1＝3×12－1＝2.∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案2x－y＋1＝05．(2012·广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为____

8、____．【例1】►利用导数的定义求函数的导数：[审题视点]正确理解导数的定义是求解的关键．考向一导数的定义求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤：(1)函数增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；A．2B．－1C．1D．－2答案B(1)y＝ex·lnx；[审题视点]若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．考向二导数的运算【例2】►求下列函数的导数：有的函数虽然表面形式复杂，但在求导之前，利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．(1)y＝x·t

9、anx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．(2)法一y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)[(x＋2)·(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.法二y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.【训练2】求下列函数的导数．【例3】►求下列复合函数的导数．[审题视点]正确分解函数的复合层次，逐层求导．考向三求复合函数的导数解(1)设y＝u5，u＝2x－3，则y′＝y′u·u′x＝(u5)′(

10、2x－3)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.求复合函数的导数关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．【训练3】求下列函数的导数．【命题研究】利用导数的几何意义求曲线的切线斜率或切线方程是近几年高考命题的热点，常与函数的图象、性质、几何图形性质交汇命题，主要