变化率与导数、导数的运算.doc

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1、第三篇导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)．A.B.C.D．1解析　y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点A，y＝－2x＋2与x轴的交点B(1,0)．所以三角形面积S＝×1×＝，故选A.答案　A2．函数f(x)是

2、定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有(　　)．A．af(b)0)，F′(x)＝，由条件知F′(x)<0，∴函数F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴<，即bf(a)0)，则f(2)的最小值为(　　)．A．12B．12＋8a＋C．8＋8a＋D．1

3、6解析　f(2)＝8＋8a＋，令g(a)＝8＋8a＋，则g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>，由g′(a)<0得00时，f′(x)>0，g′(x)>0则x<0时(　　)．A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析　依题意得，函数f′(x)、g′(x)分别是偶函数、奇函数，当x<0

4、时，－x>0，f′(x)＝f′(－x)>0，g′(x)＝－g′(－x)<0，选B.答案　B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·新课标全国)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析　∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，∴k＝y′

5、x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案　y＝4x－36．曲线y＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为________．解析　依题意得y′＝3x2＋1，设点P(x0，y0)，

6、则有3x＋1＝4，解得x0＝－1或x0＝1，将x0的值代入曲线方程得y0＝－4或y0＝0，从而点P的坐标是(1,0)或(－1，－4)．答案　(1,0)或(－1，－4)三、解答题(共25分)7．(12分)求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；　(2)y＝ln(x＋)；(3)y＝；　(4)y＝2xsin(2x＋5)．解　(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.(2)y′＝·＝.(3)∵y＝＝1＋∴y′＝.(4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)．8．(13分)已知函数f(x

7、)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一　设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴

8、直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26.)法二　设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－2

9、6)．(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴或切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－