专题二 基本初等函数、导数及其应用

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专题二　基本初等函数、导数及其应用(2012·高考北京卷)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为(　　)A．5　　　　　　　　　　B．7C．9D．11(2012·高考天津卷)已知a＝21.2，b＝，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(　　)A．c0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点． (2012·高考安徽卷)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．(Ⅰ)求f(x)的最小值；(Ⅱ)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．(2012·高考辽宁卷)设f(x)＝lnx＋－1，证明：(Ⅰ)当x>1时，f(x)<(x－1)；(Ⅱ)当11，又c＝2log52＝log54<1，∴c0，f(3)<0且a<10.即00.故选C.B　由已知可得f(x)的图象(如图)，由图可得零点个数为4.A　当01，即直线的倾斜角大于45°.∴选A.B　由f(x)f(－x)f[－(x－2)]－f(2－x)．2　f(x)＝1＋，令g(x)＝，则g(x)为奇函数，对于一个奇函数，其最大值与最小值之和为0，即g(x)max＋g(x)min＝0，而f(x)max＝1＋g(x)max，f(x)min＝1＋g(x)min，∴f(x)max＋f(x)min＝M＋m＝2.－10　∵f()＝f(－)，∴f()＝f(－)，∴＝－a＋1，易求得3a＋2b＝－2，又f(1)＝f(－1)，∴－a＋1＝，即2a＋b＝0，∴a＝2，b＝－4，∴a＋3b＝－10.　由题意易得 f(x)＝，∴y＝xf(x)＝，∴所围成的图形的面积为S＝∫02x2dx＋∫1(－2x2＋2x)dx＝x3＝×()3＋(－)×1＋1＋×()3－()2＝－＋1＋－＝.解：令g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)．(1)①当0＜a≤时，Δ≥0.方程g(x)＝0的两个根分别为x1＝，x2＝.所以g(x)＞0的解集为∪.因为x1，x2＞0，所以D＝A∩B＝∪.②当＜a＜1时，Δ＜0，则g(x)＞0恒成立，所以D＝A∩B＝(0，＋∞)．综上所述，当0＜a≤时，D＝∪；当＜a＜1时，D＝(0，＋∞)．(2)f′(x)＝6x2－6(1＋a)x＋6a ＝6(x－a)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝1.①当0＜a≤时，由(1)知D＝(0，x1)∪(x2，＋∞)．因为g(a)＝2a2－3(1＋a)a＋6a＝a(3－a)＞0，g(1)＝2－3(1＋a)＋6a＝3a－1≤0，所以0＜a＜x1＜1≤x2，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，a)a(a，x1)(x2，＋∞)f′(x)＋0－＋f(x)↗极大值↘↗所以f(x)的极大值点为x＝a，没有极小值点．②当＜a＜1时，由(1)知D＝(0，＋∞)，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，a)a(a，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值点为x＝a，极小值点为x＝1.综上所述，当0＜a≤时，f(x)有一个极大值点x＝a，没有极小值点；当＜a＜1时，f(x)有一个极大值点x＝a，一个极小值点x＝1.解：(Ⅰ)法一：由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋＋b≥2＋b，其中等号成立当且仅当ax＝1，即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.法二：f(x)的导数f′(x)＝a－＝，当x＞时，f′(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上递增；当0＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)在(0，)上递减．所以当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.(Ⅱ)f′(x)＝a－，由题设知，f′(1)＝a－＝，解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)，将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.证明：(Ⅰ)法一：记g(x)＝lnx＋－1－(x－1)，则当x>1时， g′(x)＝＋－<0.又g(1)＝0，有g(x)<0，即f(x)<(x－1)．法二：由均值不等式，当x>1时，21时，f(x)<(x－1)．(Ⅱ)法一：记h(x)＝f(x)－，由(Ⅰ)得h′(x)＝＋－＝－<－＝.令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当10，所以x＋1<2－2x<10x＋10，－